Analízis szeminárium
(H.épület 306) 

A véletlen mátrixok sajátértékei azonos eloszlású de nem független valószínűségi változók. Ezen sajátértékek eloszlásának felírásában és aszimptotikájának meghatározásában segítenek a különböző ortogonális polinomrendszerek. Az előadásban szó lesz arról, hogy mely polinomrendszerek mely véletlen mátrixsorozatok vizsgálatában kerülnek elő, és hogy az egyes rendszerek milyen speciális tulajdonságai vezethetnek el a sajátértékek konvergenciájának igazolásához.

Bizonyos fizikai, kémiai alkalmazások során olyan rendszerek merülnek fel, amelyek egy parabolikus parciális differenciálegyenletből és egy közönséges differenciálegyenletből állnak. Ezek általánosításaként olyan rendszereket vizsgálunk a monoton operátorok elméletének felhasználásával, amelyek az ismeretlen függvényektől nem lokálisan (pl. azok valamilyen integráljától) függő tagokat tartalmaznak.

Azon függvények, melyek összes legfeljebb n-edrendű deriváltjai egy adott súlyozott L_p-térhez tartoznak (speciálisan pl. Hermite-súly), súlyozott Sobolev-tereket alkotnak. Többféleképpen lehet jellemezni ilyen függvényeket: függvény-szerkezeti tulajdonságokkal (simasági mértékkel), ortogonális polinom-sorfejtési együtthatókkal, legjobb megközelítésekkel, az idő-frekvencia-ablakkal ill. waveletekkel. Az eredmények összefüggnek azzal a problémával, hogy hogyan lehet numerikusan kiszámítani egy függvény deriváltjait. Megvizsgáljuk a numerikus stabilitást klasszikus polinom-sorfejtések és nemklasszikus polinomok esetén. Ebből a szempontból a wavelet-rendszerek között vannak jók. A mondottakkal kapcsolatos saját eredményeimről és további problémákról lesz szó.

Az előadásban azt vizsgálom, hogy egy nagy hálózaton, amely egy nagy gráffal van megadva, hogyan lehet leírni valamilyen járvány terjedését differenciálegyenletek segítségével. A differenciálegyenleteket a gráf szerkezete és a választott járványterjedési modell határozza meg. A cél az, hogy a differenciálegyenletek vizsgálatából a gráf szerkezetére lehessen következtetni.