Analízis szeminárium
(H.épület 306) 

Olyan parciális differenciálegyenletek sajátérték-feladatait tekintjük, amelyek a p-Laplace, vagy a pseudo-Laplace operátort tartalmazzák. Vizsgáljuk a megoldások tulajdonságait és a megoldások meghatározásának módszereit különböző alakú tartományokra Dirichlet peremfeltétel esetén. A p-Laplace, vagy a pseudo-Laplace operátorok speciális értékű paraméter esetén a Laplace operátorral egyeznek meg, amely esetben a sajátérték-feladat tulajdonságai jól ismertek. Rámutatunk a sajátértékek és a sajátfüggvények néhány olyan tulajdonságára, amelyek a lineáris feladatokban ismertekkel megegyeznek, illetve amikor lényegesen eltérnek.

Irodalom

Bognár G., Spectral problems of some nonlinear differential equations,  pdf, 2007

Banach térbeli korlátos lineáris operátorok ún. globális multiplicitását (vagy: multiciklicitását) többen vizsgálták: N.K. Nyikolszkij, D.Herrero, Vaszjunin és mások. Bizonyos nemkorlátos lineáris operátorokra a vizsgálatot társított korlátos operátorokra (rezolvens, Cayley transzformált) vezettek vissza, ami a kérdés lényegét illetően sem tűnik jó ötletnek. Az előadásban definiálom tetszőleges nemkorlátos lin. operátor globális multiplicitását (durván: a legkisebb ciklikus altér dimenziója), amely különbözhet az említett speciális esetek által adottól. Vizsgálom e fogalom és általánosított Jacobi mátrixok (M.G.Krejn) kapcsolatát, majd ún. tiszta szimmetrikus operátorok multiplicitását. Eredményeim következményeként meghatározható az ún. elemi szimmetrikus operátor legegyszerűbb végtelen mátrix reprezentációja, amely kérdés J.v.Neumannt 2 klasszikus cikkében is foglalkoztatta.

Irodalom

Nagy B.,  

Bose-Einstein kondenzáció sok bozon részecskéből álló kvantumrendszerek alapvető tulajdonsága: nagyon alacsony energiatartományban a részecskék ugyanazt a kvantumállapotot foglalják el. Ez a jelenség gyenge kölcsönhatás mellett is érvényesül. Így a kondenzáció tartományában a sokrészecske rendszer alapvetően egyetlen egyrészecske hullámfüggvénnyel is leírható. Ennek a hullámfüggvénynek az időfejlődését a Gross-Pitaevskii egyenlet adja meg, amely egy időfüggő Schrödinger egyenlet köbös nemlineáris taggal. Ebben az előadásban megmutatom, hogyan lehet matematikailag szigorúan levezetni a Gross-Pitaevskii egyenletet a sokrészecske Hamilton operátor által definiált időfejlődésből kiindulva.

Irodalom

Erdős L., Derivation of the time dependent Gross-Pitaevskii equation for the dynamics of the Bose-Einstein condensate,  pdf, 2007

Belső gyökökkel rendelkező súlyok bevezetését, szingularitásokat megengedő peremfeltételű Dirichlet feladat, Fourier sorok Abel- szummabilitása, a Hardy-Littlewood maximál függvény vizsgálata tette indokolttá. (M. Rosenblum, B. Muckenhoupt, K. S. Kazarian stb.)  S. Banach módszere szerint teljes és minimális rendszer léte esetén a Poisson mag korlátosságát elég vizsgálni a fenti problémák tárgyalásához. "Gyengébb gyökű" súlyok kezelésére kerültek bevezetésre az ún. A_p súlyok , "erősebb gyökű" súlyok esetére a "gyökmentes" részre vonatkozó teljes és minimális rendszerből, a gyökök száma szerinti első véges sok darab elhagyásával gyártunk hasonló rendszert a "gyökös részre" vonatkozóan. Hogyan vihető át ez az elhagyási szisztéma végtelen sok gyök esetére?

Ötödik problémájának második felében függvényegyenletekkel kapcsolatban Hilbert azt kérdezi, hogy "azok az állítások, amelyek differenciálható függvényekre igazak, mennyire maradnak igazak megfelelő módosításokkal a differenciálhatóság feltételezése nélkül?". Először áttekintjük a függvényegyenletek regularitásának témakörében ismert eredményeket. Ezek mérhetőségből vagy más "gyenge" regularitási feltételből kiindulva bizonyítanak végtelen sokszori differenciálhatóságot vagy más "erős" regularitási tulajdonságot. Az eredmények lehetővé teszik, hogy függvényegyenleteket differenciálegyenletekre visszavezetve oldjunk meg. Ezután nyitott problémákat tárgyalunk több témakörben: függvényösszetételt nem tartalmazó, "elég sok" változós egyenletekre, függvényösszetételt nem tartalmazó, "kevés" változós egyenletekre, függvényösszetételt tartalmazó egyenletekre, végül speciális egyenletekre.