Analízis szeminárium
(H.épület 306) 

Két klasszikus tételről lesz szó az előadásban. A Weierstrass tétel szerint minden folytonos függvény közelíthető algebrai polinomokkal. Minkowski egy tétele szerint pedig minden konvex felület kozelíthető konvex algebrai felülettel. Azt fogjuk megvizsgálni, hogyan terjeszthető ki a Weierstrass tétel homogén algebrai polinomokkal való közelítésre illetve milyen sebességgel közelíthetők a konvex felületek konvex algebrai felületekkel. Ezt a két egymással szorosan összefüggő kérdést analitikus és geometria módszerekkel vizsgáljuk.

Az elemi részecskék közti kölcsönhatásokról lényegében csak egyféleképpen nyerhetünk információkat: szórási adatok megfigyelésével. A fizikai tér visszaállítása a megfigyelt adatokból számos érdekes matematikai problémához vezet, ezek közül szeretnék néhányat bemutatni. A végleges és félkész eredmények mellett megoldatlan kérdésekről is lesz szó.

pdf

A Holevo kapacitás elérhetősége hosszú ideig kérdéses volt, 97 ben bizonyították többen, egymástól függetlenül. A bizonyítás alapja, a tipikus alterek, nagyon hasonlítanak a klasszikus információelméleti tipikus halmazokhoz, de a bizonyítás vége nagyon különbözik a klasszikus bizonyítástól. Arra kerestem a választ, hogy lehetséges-e a klasszikushoz hasonló egyszerű, szép bizonyítást keresni. A végén kapott eredmény erősebb lett mint az eredeti bizonyításé, és még bonyolultabb modellekre is lehet nagyon hasonló bizonyítást adni.

Egy általam kifejlesztett intenzitás-becslés alapú híváskorlátozó rendszert és matematikai modelljét fogom bemutatni. A módszer elsődleges alkalmazási területe telekommunikációs szerverek védelme túlterhelés ellen. A matematikai háttér két részből tevődik össze. Az első definiálja a a módszerrel szemben támasztott követelményeket és megmutatja, hogy a módszer valóban teljesíti azokat. (Az ebből készült cikk jelenleg elbírálás alatt van.) A második, általánosabb terület, az alkalmazott statisztikai becslések tulajdonságával foglalkozik. Az itt kapott eredményeket más sztochasztikus folyamatok intenzitásának becsléséhez is szeretnénk a jövőben használni.

A two-valued piecewise-linear, constant slope, 1D transformation is defined as a simplified model for hysteresis. By using Góra's S-matrix and classical results on Rényi's β-transformation [0,1] → [0,1], x → βx (mod 1), the density function of the induced absolutely continuous ergodic measure is determined. Our approach is based on observing that, given a two-valued interval map x ↦ X(x) (satisfying certain conditions), a concatenated arclength parametrization leads to a single-valued interval map s ↦ S(s) for which standard results on chaos in 1D directly apply. The general discussion involves two increasing branches. Decreasing branches are considered only in two-valued Poincaré sections of the 2D Feng-Loparo ODE model example for hysteresis. This particular model undergoes a threefold homoclinic bifurcation.