Ph.D. TÉMÁK
Részletesbb felvilágosítás a téma meghidetőjétől személyesen kapható.
Dr. Petz Dénes egy. tanár:
- Véletlen mátrixok sajátértéksűrűsége:
Nagyméretű véletlem mátrixok sok helyen előfordulnak és sajátéértéksűrűségük
határeloszlása lényeges kérdés. A feladat bizonyos tipusú véletlen mátrixok sajátértéksűrűsége határeloszlásának
meghatározása. Valószinűségszámitási ismeretek szükségesek.
- Szabad valószínűségelmélet:
Egy új matematikai
terület, amelyben a függetlenséget a szabad kapcsolat helyettesiti, a szabad
szó a szabad csoportból került ide. Itt a központi határeloszlás tételben
normális eloszlás helyett a félköreloszlás jön elő. A szabad
valószínűségelmélet kapcsolatban áll véletlen mátrix modellekkel. Leginkább
funkcionálanalizisbeli ismeretek szükségesek.
- Kvantum-információelmélet:
A kérdésfeltevések információelméletiek, a kisérleti megvalósitás kvantummechanikai
jelenségeken alapszik, és a felhasznált matematikai módszerek leginkább lineáris
algebraiak. A konkrét feladat bizonyos zajos csatornák kapacitásának meghatározása.
Mátrixelméleti és információelméleti ismeretek szükségesek.
- Lineáris analízis és
operátorok algebrái: nem-kommutativ elpé terek, mátrix-
és nyomegyenlőtlenségek itt azok a
témakörök, amelyek választhatók. Funkcionálanalizisbeli és mátrixelméleti ismeretek szükségesek.
Dr. Járai Antal egy. tanár:
- Regularitási tételek függvényegyenletekre
Lie-csoportokon. A doktorandusz feladata: az ismert regularitási eredmények
módosítása olyan, Lie-csoportokon vizsgált függvényegyenletekre, amelyeknél
az egyenletben egy kompakt részcsoport feletti integrálás is szerepel az
egyenletben. Követelmények: topológia, mértékelmélet, Lie-csoportok alapos
ismerete. (TDK téma is!)
- Algoritmikus módszerek függvényegyenletek
regularitási tulajdonságainak vizsgálatára és reguláris megoldásainak meghatározására.
A doktorandusz feladata: az ismert regularitási eredmények alkalmazásának
algoritmizálása minél szélesebb függvényegyenlet vagy függvényegyenlet-rendszer
osztályra, beleértve ebbe az eredmények alkotó módon történ? továbbfejlesztését
is. Az algoritmus programozása (tetsz?leges) komputeralgebra nyelven, és
így olyan program készítése amely automatikusan, esetleg félautomatikusan
képes bizonyítani, hogy a mérhet? megoldások végtelen sokszor differenciálhatóak,
majd az egyenletetet differenciálegyenletre vagy differenciálegyenlet-rendszerre
visszavezetve, azt megoldani. Követelmények: topológia, mértékelmélet, differenciálegyenletek
alapos ismerete, parciális differenciálegyenletek, disztribúciók ismerete,
alapvet? programozási ismeretek, egy komputeralgebra rendszer ismerete,
,,algoritmikus készség''. (TDK téma is!)
Dr. Kroó András egy. tanár:
- Polinomok extremális tulajdonságai az approximációelméletben
Dr. Nagy Béla egy. tanár:
- Banach térbeli lineáris operátorok spektrálelmélete
- Hilbert térbeli kontrakciók és dilatációik
- Véges és végtelen dimenziós lineáris rendszerek
- Pozitív operátorok és pozitív lineáris rendszerek
G. Horváth Ákosné dr. tud. főmunkatárs
- Hölder folytonosság. A Dirichlet probléma
megoldásaival foglalkozó cikkek napjainkban azt vizsgálják, hogy a peremfüggvény
simasági tulajdonságait milyen feltételek mellett örökli a megoldás. Az
ilyen irányú feltételek és tételek közötti átfedések és hézagok feltérképezése
jó szakdolgozati és TDK téma is, a hézagok pótlása publikációs lehetőség.
- Egyensúlyi potenciál. Az egyensúlyi
mértéknek, potenciálnak és kapacitásnak mind matematikán belül (pl. approximáció-elmélet),
mind a gyakorlatban (elektromosság, tömegvonzás) számos alkalmazása van.
Az egyensúlyi mértéket a Fekete pontokon felépített számossági mértékkel
lehet közelíteni, ami persze közelítést ad a potenciálra, kapacitásra is.
Ismertek becslések a közelítés sebességére súlyozatlan esetben. Érdemes
lenne ezeket megérteni, összegyűjteni (szakdolgozat, TDK is!) és súlyozott
esetekre általánosítani.
- Interpoláció súlyozott terekben. Az
interpoláció problémája a következő: ismert egy (folytonos, sima) függvény
néhány (mért) pontban. Hogyan tudunk következtetni ebből az egész függvény
(folyamat) viselkedésére. Azaz: hogyan válasszuk meg az alappontokat (mérési
helyek, idők) és az eljárást, hogy az adott szempontok szerint (súlyozott
térben) a lehető legjobb közelítést kapjuk. Súlyozott interpolációs eljárások
összegyűjtése, összehasonlítása (milyen típusú problémákhoz melyik illeszkedik
a legjobban), és konvergenciavizsgálatok.(szakdolgozat
és TDK is!)
- Potenciálelmélet és Brown mozgás. A
potenciálelmélet a matematika számos területén alkalmazást nyert, így a hasonló
problémák (tételek) több szempontból is előkerültek. Érdemes néhány sarkalatos
tétel valószínűségelméleti és analitikus (komplex függvénytan ill. parciális
differenciálegyenletek) nézőpontú kimondását és bizonyítását összevetni,
a tanulságokat levonni.
dr. Horváth Miklós egy. docens:
- Inverz feladatok. Az Ly=-y''+V(x)y
differenciáloperátor a fizikában alapvető jelentőségű az elemi részecskék
mozgásának leírásában. Számos fizikailag mérhető mennyiség definiálható
tisztán matematikai eszközökkel is, mint például a sajátenergia-szintek,
a fáziseltolódás, a részecskék szóródása a térben, a visszaverődő és áthatoló
hullámok intenzitása stb. Fizikailag és matematikailag egyaránt kiemelkedő
jelentőségű annak vizsgálata, hogy milyen mérhető adatokból és hogyan lehet
a differenciáloperátort visszakapni. Az ilyen kérdéseket hívják inverz feladatoknak.
Ezek vizsgálata során felhasználjuk a komplex függvénytan, a funkcionálanalízis
és az integrálegyenletek elméletének számos szép eredményét.
Dr. Nguyen Xuan Ky
egy. docens:
- Vizsgálatok a wavelet-analízis és approximáció
köréből.
dr. Tóth János egy. docens:
- Reakciókinetikai modellek matematikai
vizsgálata és alkalmazásai
- Matematikai programcsomagok (elsősorban:
Mathematica és Maple V) alkalmazási lehetőségei és összehasonlításuk az alkalmazott
analízis valamely területén
- Polinomiális modellek kvalitatív és kvantitatív
vizsgálata és alkalmazásai