Analízis 3 . emlékeztető

(Halmaz-)félgyűrű, gyűrű, algebra, szigma-gyűrű, szigma-algebra , generált szigma –gyűrű ill. algebra. Borel halmazok. Additív, szigma-additiv halmazfüggvények. Tulajdonságai, elemi kiterjesztési tétel. Mérték (példák) , halmazfüggvények halmazrendszerek direkt szorzatán. Mérhető halmazok (Caratheodory) Tulajdonságok. Külső mérték, szerinte mérhető halmazok, külső mérték konstrukciója. Kiterjesztési tétel. Mérhető- és mértéktér. Félgyűrűről kiterjesztés unicitása. Teljes mérték. Lebesgue mérték. Lebesgue mérhetőek kapcsolata a Borelekkel. Nem teljes mérték teljessé tétele. Lebesgue mérték további tulajdonságai. (Erősen) reguláris mérték. Halmazrendszerek lim inf-je , lim sup-ja , tulajdonságok, Fatou tétel, Borel-Cantelli lemma.

Mérhető függvények. Nívóhalmazok és tulajdonságaik. Műveletek mérhető függvényekkel, lim inf, lim sup. Lépcsős (egyszerű) függvények. Mérhető függvények approximációja lépcsős függvényekkel.

Mű(=M)-majdnem mindenütt, M-mm egyenletesen, M-majdnem egyenletesen, M-mértékben (sztochasztikusan) való konvergencia. Elemi viszonyaik, Jegorov- Frechet-, Luzin tételei. Riesz lemma.

Mérték szerinti (Lebesgue) integrál. Konstrukció, tulajdonságok Beppo-Levi (monoton konvergencia) tétel. M-integrálható függvények. Fatou- és Lebesgue (dominált konvergencia) tétel. Riemann- és Lebesgue integrál összehasonlítása. Lebesgue -Stieltjes integrál.

Előjeles mérték. Tulajdonságok. Hahn-féle felbontás. Jordan-féle felbontás. Abszolút folytonosság, szingularitás, Lebesgue-féle felbontás. Radon-Nikodym tétel. Mérték transzformációja integrálban.

Szorzat mérték, tulajdonságai, kettős és kétszeres integrál, Fubini tétel.

Borel mértékek deriválása a valós n-dimenziós térben. Halmazsorozat reguláris konvergenciája, Borel-mérték, deriválása, összehasonlítás a Radon-Nikodym deriválttal. Alkalmazás valós-valós függvények deriválására. Lebesgue és Jordan tételei. Korlátos változású függvények Példa….Abszolút folytonos függvények. Korlátos változású és abszolút folytonos függvények tulajdonságai, összehasonlításuk, Jordan-felbontás abszolút folytonos függvényekre, Radon-Nikodym tétel. Fubini tétele Borel mértékek / monoton függvények sorának tagonkénti deriválásáról. Szinguláris és tiszta ugró függvények, Lebesgue -felbontás korlátos változású függvényekre.

Folytonos függvények tipikus tulajdonságai. Első és második kategóriájú halmazok, kategória és mérték, fűrészfog függvények. Tipikus folytonos függvény növekedése, alsó- , felső-, ill. Dini-deriváltja.

Speciális mértékek:

Hausdorff-mérték. Metrikus tér, metrikus külső mérték, jellemzése. Hausdorff-mérték definiciója, tulajdonságai. 0- és 1-dimenziós Hausdorff-mérték (ívhossz, átmérő). n-dimenziós Lebesgue- és Hausdorff-mérték összehasonlítása, izodiametrális egyenlőtlenség, Steiner-szimmetrizáció (felülről félig folytonos függvények). Hausdorff-dimenzió, Hausdorff-távolság, önhasonló halmazok. Teljes és kompakt metrikus terek. Banach fixpont tétele. Egzisztencia és unicitás véges sok kontrakció által generált halmazra. Felső becslés Hausdorff-dimenzióra.

Haar-mérték. Lokálisan kompakt topológikus csoport, Radon mérték, topológikus ábrázolás, bal-, ill. jobb-invariáns Haar-mérték. Tranzitív ábrázolás, (f:g), tulajdonságai. Haar-mértékre vonatkozó egzisztencia és unicitás.

(A felhasznált / felsorolt dolgok közül az Uriszon-lemmát és a Tyihonov-tételt nem bizonyítottuk. Minden más kell.)

A vizsga szóbeli.

Irodalom:

N. Bourbaki: Integration II. : Springer-Verlag, 2004.

Á. Császár: Bevezetés az általános topológiába, Akadémiai Kiadó, 1974.

K. Falconer: Fractal Geometry, J. Wiley & Sons , 1990.

P. R. Halmos: Mértékelmélet, Gondolat, 1984.

A. Járai: Mérték és integral, Nemzeti Tankönyvkiadó, 2002.

J. Kristóf: Az analízis elemei IV., ELTE, 1998.

M. Laczkovich: Valós függvénytan, ELTE, 1995.

P. Malliavin: Integration and Probability, Springer-Verlag ,1995.

C. A. Rogers: Hausdorff Measures,Cambridge Univ. Press, 1970.

S. Saks. Theory of the Integral, Hafner Publ. Co., New York, 1938.