Szakdolgozati témák

Algebra Tanszék

Leírás: Néhány fontos eredmény részletes ismertetésével mutassa be, hogy gráfok automorfizmuscsoportjának vizsgálatával miképpen használhatunk csoportelméleti eszközöket gráfelméleti tételek bizonyítására, és fordítva, hogyan kaphatunk csoportelméleti eredményeket (például a szabad csoportok részcsoportjairól szóló Schreier-tételt) alkalmas gráf bevezetésével. Az eredményekhez kapcsolódóan mutasson példát néhány gráf automorfizmuscsoportjának meghatározására.

Irodalom:

1. Cameron, P.J.: Permutation Groups, Cambridge Univ. Press, 1999
2. Dixon, J.D., Mortimer, B.: Permutation Groups, Springer, 1996
3. Biggs, N.L., Smith, D.H.: On trivalent graphs, Bull. London Math. Soc. 3 (1971), 155-158.

Nyelvismereti követelmény: angol.

Kidolgozandó feldat: Egy véges automatát irányíthatónak nevezünk, ha van olyan állapota és olyan bemenő szó, amely az automatát minden állapotából ebbe az állapotba viszi át. Az ilyen szót irányító szónak nevezünk. Jelölje n(A) az n állapotú A automatában egy legrövidebb irányító szó hosszát. Legyen d(n) az n(A) számok maximuma. Jan Cerny már 1964-ben megmutatta, hogy d(n) nagyobb vagy egyenlő, mint (n-1)2 és azt sejtette, hogy d(n)=(n-1)2. Ez az automataelmélet egyik legrégebben megoldatlan sejtése.

Dolgozatok sokasága foglalkozik a témával. Az automaták több részosztályára igazolták már a sejtést. Feladat az eredmények rendszerezése és összegzése.

Ajánlott irodalom:

1. Babcsányi, I., Automaták, nyelvek, kódok, BME, Matematika Intézet, Algebra Tanszék, 2007 (elektronikus jegyzet).
2. Babcsányi, I., The Cerny conjecture for automata with blocking states, 2008, pp. 1-9 (kézirat)
3. Ito, M., Algebraic Theory of Automata and Languages, World Scientific Publishing, New Jersey-London-Singapure-..., 2004.
4. Pin, J.-É., On two combinatorial problem arising from automata theory, Annals Discrete Math., 1983, pp. 345-352.
5. Rystsov, I. C., Reset words for commutative and solvable automata, Theoretical Computer Science, 172, 1997, pp. 273-279.
6. Trahtmann, A.N., The Cerny conjecture for aperiodic automata, Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science, vol. 9:2, 2007, pp. 3-10.

A szakdolgozat célja áttekintést adni a karakterelmélet csoportelméleti alkalmazásairól.

Irodalom:

1. Isaacs: Character theory of finite groups
2. Huppert: Endliche Gruppen

A szakdolgozat célja áttekintést adni a moduláris reprezentációelmélet néhány nevezetes blokkelméleti sejtéséről.

Irodalom:

1. G. Navarro Characters and blocks of finite groups
2. H. Nagao - Y. Tsushima: Representations of finite groups
3. O. Manz , T. Wolf: Representations of solvable groups
4. G. O. Michler, Contributions to modular representation theory, Proc. Conf. Repr. Th. 1991, Bielefeld, Birkhauser.

A szakdolgozat célja speciális mátrixok vizsgálata a sajátértékek elhelyezkedésének szempontjából (pl. gráfok adjecencia mátrixának vizsgálata).

Irodalom:

1. Praszolov: Lineáris algebra
2. Rózsa Pál: Lineáris algebra es alkalmazásai
3. Lovász: Combinatorial problems and exercises

Kidolgozandó feladat: Birkhoff tétele alapján minden félcsoport felbontható szubdirekt irreducibilis félcsoportok szubdirekt szorzatára. A diplomamunka célja annak bemutatása, hogy egyes nevezetes félcsoport-osztályokban melyek ezek az "épít.kövek", azaz melyek a szubdirekt irreducibilis félcsoportok.

Irodalom: Attila Nagy, Special Classes of Semigroups

Nyelvismeret: angol

Legyen V egy kétdimenziós vektortér a a p-elemű test felett (p prím). Tegyük fel, hogy adott V-beli vektorok egy 4p-3 elemböl álló sorozata. Kemnitz sejtése szerint a sorozoatból kiválasztható olyan p tagú részsorozat, amelynek az összege a nullvektor. A sejtés az Erd.s-Ginzburg-Ziv-tétel kétdimenziós általánosítása.

A diplomázó feladata a sejtés megoldásának és néhány kapcsolódó kérdésnek az áttekintése.

Irodalom:
R. K. Guy: Unsolved Problems in Number Theory
Series: Problem Books in Mathematics, Springer, 2004.

Nyelv: angol

A számítógépes aritmetika egyik legjelent.sebb nyitott kérdése, hogy létezik-e négyzetes idejű algoritmus mátrixok szozására. (A szorzás definíciójából közvetlenül adódó algoritmus műveletigénye köbös nagyságrendű). A diplomázó feladata néhány idevágó eredmény áttekintése.

Irodalom: T. H. Cormen, C. E. Lesierson, R. L. Rivest, C. Stein: Új algoritmusok, Scolar Kiadó, 2003.

Nyelv: magyar, angol

A véges Fourier-transzformáció, illetve a gyors kiszámítására szolgáló FFT-algoritmus alapvet. szerepet játszik egy sor mérnöki és számítástudományi feladat megoldásában. A diplomázó feladata módszernek és néhány alkalmazásának a megismerése.

Irodalom: T. H. Cormen, C. E. Lesierson, R. L. Rivest, C. Stein: Új algoritmusok, Scolar Kiadó, 2003.

Nyelv: magyar, angol

Az algebrai logika feladata az algebrai és a matematikai logikai fogalmak és tételek kapcsolatának vizsgálata, valamint algebrai módszerek alkalmazása a logikában és logikai módszerek alkalmazása az algebrában. Például bizonyos értelemben az állítás logikának a Boole algebrák elmélete felel meg az algebrában, ezen belül a következmény fogalomnak a kisebb-egyenlő, az állítás műveleteknek a Boole műveletek, a logikai elmélet fogalomnak a Boole filter, stb. Az algebrai logikai kutatások úttörői között említhető például de Morgan, Boole, Tarski, Sikorski, Henkin vagy Halmos. A terület ma is dinamikusan fejlődő ága a matematikának. A diplomamunka témája az algebrai logika egy fejezetének feldolgozása az irodalom alapján (pl. reprezentációelmélet, modell elmélet, stb.).

Irodalom:

1. Bell, Machover, A Course in Mathematical Logic, North Holland, 1977
2. Henkin, Monk,Tarski, Cylindric Algebras, North Holland, 1985
3. Ferenczi, Matematikai Logika, Műszaki Kiadó, 2002

Newton és Leibniz az infinitezimális (végtelen kicsiny mennyiség) fogalmát felhasználva vezették be a differenciál és integrál számítást. Évszázadokig nem sikerült azonban precíz matematikai definíciót adni az infinitezimális fogalmára. Abraham Robinson algebrista-logikus az 1960-as években találta meg a precíz definíciót, a valós számfogalom kielégítő bővítését. Erre építve sikerült egy elegáns és precíz felépítést adni az Analízisre, kezdetben ezt nevezték Nem-standard Analízisnek. Azonban hamarosan kiderült, hogy az itt alkalmazott módszerek a matematika minden területén alkalmazhatóak (pl. halamazelmélet, valószínűségszámítás, topológia, stb.). A Nem-standard Analízis ma már ezen alkalmazások közös megjelölése. E terület ma is dinamikusan fejlődő ága a matematikának.

A diplomamunka témája a Nem-standard analízis egy fejezetének, az ott alkalmazott fogalmaknak, eredményeknek feldolgozása az irodalom alapján.

Irodalom:

1. Goldblatt, Lectures on Hyperreals, Springer, 1998
2. Csirmaz, Nemsztenderd Analízis, Typotex, 1999
3. Ferenczi, Matematikai Logika, Műszaki Kiadó, 2002

Gödelnek a Peano aritmetika (és rekurziv konzisztens bővítései) nemteljességére vonatkozó tételét a matematikusok többsége ezoterikus, csak a logikusok számára érdekes eredményként könyveli el, hisz a tétel olyan állítások függetlenségét mutatja meg, melyek matematikailag egyszerűen nem érdekesek. A természetes függetlenségi eredmények bizonyos értelemben erre adott vélaszul születtek. Ezek valódi véges kombinatorikai állitásoknak a Peano aritmetikától (és annak bizonyos bővítéseitől) való függetlensegére vonatkoznak, bizonyitva ezzel, hogy a matematika alapjainak tisztázására irányuló kutatások eredményei relevánsak lehetnek a tiszta matematikával foglalkozó kutatók számára is.

Analízis Tanszék

A valós számok kettedestört alakban való felírása jól ismert. Ha itt 2 helyett egy 1<q<2 alapszámot választunk, a kapott q-adikus sorfejtések kapcsán sok érdekes kérdés merül fel: a sorfejtések egyértelműsége, az unicitást biztosító q értékek halmazának elhelyezkedése, topologikus tulajdonságai, a kérdéskör kapcsolata mértékelmélettel, valószínűségszámítással, diofantikus approximációval. Ezek feldolgozása és áttekintése a feladat, elsősorban cikkek alapján.

Adott össztömegű inhomogén húr hangja milyen tömegeloszlás mellett lesz a legmélyebb?

Adott felszín mellett milyen alakú dob szól a legmélyebben? És ha csak háromszög (négyszög stb.) alakú dobok közül választhatunk? Számos ehhez hasonló mechanikai szélsőérték-feladat vizsgálható. A kérdések lineáris differenciáloperátorok sajátértékeinek vizsgálatára vezetnek, de megismerünk olyan klasszikus eszközöket is, mint a függvények csökkenő átrendezése és a Steiner-szimmetrizáció.

Irodalom:

1. G. Pólya and G. Szegő: Isoperimetric Inequalities in Mathematical Physics, Ann. Math. Studies 27, Princeton Univ. Press, 1951.
2. A. Henrot: Extremum Problems for Eigenvalues of Elliptic Operators, Birkhauser 2006.

A numerikus szakirodalomban stiff (merev) differenciálegyenletnek hívjuk azokat az egyenleteket, melyeknél a hagyományos explicit numerikus módszerek rosszul viselkednek, megoldásuk speciális megoldási módszereket igényel. A stiff tulajdonságnak ezen kívül több más jellemzése is ismert. A dolgozatban Marc Spijker, Stiffness in Numerical Initial Value Problems és Higham, Trefethen, Stiffness of ODEs cikkei alapján jellemzzük a stiff feladatokat. Megértjük viselkedésüket és megadunk stiff egyenletekre is jól viselkedő numerikus módszereket. Az eredményeket MATLAB-ban írt programokkal szemléltetjük.

Jól ismert a Lagrange interpolációs tétel, amely szerint n-edrendű egyváltozós algebrai polinomokkal a valós tengely tetszőleges n+1 pontjában az interpolációs probléma egyértelműen megoldható. Többváltozós polinomok esetén az interpolációs probléma megoldhatósága mar függ az adott pontok elhelyezésétől, tehát a ponthalmaz geometriai tulajdonságaitól.

Alkalmazás Fredholm integrálegyenletek megoldhatóságára. Az operátorelmélet klasszikus magyar vonatkozású módszere ill. eredménye.

Irodalom:

1. Riesz F., Szőkefalvi-Nagy B., Funkcionálanalízis, Akad. Kiadó, 1970.
2. N. Ahiezer, I. Glazman, A Hilbert térbeli lineáris operátorok elmélete,
3. Harkov, 1977 (van orosz, német ill. angol nyelvű kiadás).

A spektráltétel különböző alakjai normális, önadjungált és unitér operátorokra. Projektor mérték ill. skaláris típusú változat.

Irodalom:

1. J.B. Conway, A course in functional analysis, Springer, New York, 1985.
2. M.B. Abrahamse, Multiplication operators, In: Hilbert space operators. Springer Lecture Notes Vol. 693 (1978), 17-36.
3. M.B. Abrahamse and T.L. Kriete, The spectral multiplicity function of a multiplication operator. Indiana J. Math., 22 (1973), 845-857.

A Riesz-Dunford féle holomorf függvénykalkulus korlátos lineáris operátorokra Banach térben. A (komplex értékű) holomorf függvények elméletének hasznos operátorelméleti alkalmazása.

Irodalom:

1. I. Gohberg, S. Goldberg, M.A. Kaashoek, Classes of linear operators, Vols I, II, Birkhauser, Basel, 1990.
2. J.B. Conway, A course in functional analysis, Springer, New York, 1985.

Ez egy mátrixok nyomára vonatkozó egyenlőtlenség, a BSc szakdolgozat az egyenlőtlenség elmagyarázását és bizonyítását tartalmazza.

A fogalom elmagyarázása és példák a használatára.

A klasszikus trigonometrikus Fourier sorokhoz hasonlóan az ortogonális polinomok szerinti sorfejtések konvergencia vizsgálata és alkalmazásaik az approximációelméletben.

Fizikában, kombinatorikában, analízisben, számelméletben jutnak fontos szerephez.

Számos tételt lehet javítani, pontossá tenni amennyiben az adott speciális függvényről többet tudunk. Ilyenek például a dzeta, partíció függvények a számelméletben, a gamma függvény a kombinatorikában, egyes speciális hipergeometrikus függvények az analízisben, fizikában.

Segítségükkel lehetett bizonyítani a prímszám tételt, a Bieberbach sejtést. Rezgések, hőterjedés és más fizikai jelenségek vizsgálata során is fellépnek.

A Maple segítségével számos bonyolult, sok számolást igénylő probléma válik kezelhetővé a kombinatorikában, analízisben, fizikában, számelméletben. Különösen igaz ez a Maple 9-es (és 9.5) verziójára. Újabban tételek bizonyítására is használják, geometriában, kombinatorikában, ortogonális polinomok és speciális függvények vizsgálatánál.

A Bernstein polinomok segítségével approximációelméleti problémák viszonylag könnyen bizonyíthatóak. Numerikus szempontból is kedvező a tulajdonságuk, ez az oka népszerűségüknek.

A kémiai reakciók sztochasztikus modellje és annak szimulációja is régóta ismert témakör, napjainkban, különösen az úgynevezett rendszerbiológia (nagy rendszerek és sok mérés) megjelenésével rendkívül aktuálissá vált. Néhány konkrét modell tanulmányozása a cél.

Az úgynevezett rendszerbiológia (nagy rendszerek és sok mérés) megjelenése nélkülözhetetlenné teszi nagy nemlineáris (általában polinomiális) közönséges differenciálegyenletek általános kvalitatív vizsgálatát. Ennek a vizsgálatnak az egyik eszköze a gráfelmélet: sokféleképpen szokás gráfokat rendelni reakciókhoz, mindegyik gráf elárul valamit a reakció dinamikus viselkedéséről.

A Mathematica 6-os változatának nagy újdonsága a Manipulate függvény, amellyel objektumok paramétertől való függése folyamatosan követhető. A feladat tetszőleges elméleti vagy alkalmazási probléma kezelése ezzel a módszerrel úgy, hogy a készített program föl is kerüljön a demonstrations.wolfram.com honlapra. Mivel ott már több ezer demonstráció szerepel, és a munkákat lektorálják, egyre szebb feladat fölkerülni.

Differenciálegyenletek Tanszék

Leírás: A sík egy adott Q kompakt tartományában egyenes vonalú egyenletes mozgást végző, a tartomány határához érkezve a geometriai optika törvényeinek megfelelően visszaverődő pontszerű részecske mozgását hívjuk biliárd dinamikának. Érdekes mechanikai problémák fogalmazhatóak át a biliárdok nyelvére. Ugyanakkor a Q tartomány alakjától függően rendkívül változatos lehet a hosszú távú dinamikai viselkedés. Kétdimenziós esetben ezek az összefüggések sokszor viszonylag elemi geometriai módszerekkel is áttekinthetőek. A szakdolgozat célja a szakirodalom alapján képet adni arról, miképp használhatók a biliárdok mechanikai rendszerek modellezésére, illetve hogyan befolyásolja a Q tartomány alakja a biliárd dinamikáját. Kellő motiváció esetén egyszerűbb nyitott problémák vizsgálatára is látok lehetőséget, ez jelenthet matematikailag szigorú érvelést és számítógépes szimulációkat is.

Olyan hallgató jelentkezését várom, akit érdekel a geometria és a mechanika, és aki hajlandó viszonylag sok új ismeretet befogadni és használni, elsősorban a dinamikai rendszerek területén. A szakirodalom döntő részben angol nyelvű.

Irodalom:

1. Szász Domokos: Ergodelmélet és dinamikai rendszerek kurzus jegyzete; elérhető: http://www.math.bme.hu/~szasz/eedr/dinrend.pdf
2. Serge Tabachnikov: Geometry and Billiards, American Mathematical Society, 2005, preprint változatelérhető: http://www.math.psu.edu/tabachni/Books/billiardsgeometry.pdf

Nem teljes piac opcióinak általában nincs egyértelműen meghatározható értéke. Az egyik elfogadott módszer szerint annak az önfinanszírozó stratégiának a kezdeti értékét választjuk, ami az opció legjobb legkisebb négyzetes becslését adja. Az eljárás a dinamikus programozás elve szerint működő iteráció. A feladat a dinamikus programozás pénzügyi alkalmazásainak áttekintése, a konkrét feladat megoldásának ismertetése az irodalom alapján, és a számítógépes megvalósítás technikájának részletezése.

A diplomadolgozat készítőjének első feladata a káosz alapvető típusának megértése, elsődlegesen annak kombinatorikus tulajdonságainak alapján. Második feladata pedig a káosz "tettenérése" a mostanában sokat vizsgált alacsony-dimenziójú modellek egyikében. A téma választása a szokásosnál nagyobb számítógépes tapasztalatot igényel.

Irodalom:

1. Wiggins, S., Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos, Springer-Verlag, New York, Berlin and Heidelberg, 2003.
2. Gavrilets, S and Rice, W. R., "Genetic models of homosexuality: generating testable predictions", Proceedings of the Royal Society London B 273 (2006), 3031-3038.

Az utolsó egy-másfél évtizedben a gráfok listaszínezési kérdései előtérbe kerültek. Ennek egyik oka a listaszínezések nagyfokú alkalmazhatósága gyakorlati feladatoknál, a másik az algoritmuselméletben betöltött szerepük. A diplomamunka készítőjének feladata lenne egyrészt áttekinteni a kutatási ág jelenlegi helyzetét, másrészt egy napjainkban is vizsgált részterületen egy-két speciális kérdést alaposan is meg kellene tárgyalnia. Megfelelő táblázatokat és színes ábrákat is várunk.

Irodalom:

1. http://www.zib.de/Publications/Reports/SC-97-31.pdf
2. http://math.bme.hu/~hujter/prext1.pdf
3. http://math.bme.hu/~hujter/prext2.pdf
4. http://math.bme.hu/~hujter/prext3.pdf

Fél évszázada Dirac Gábor Endre, Gallai Tibor, Hajnal András és Surányi János kezdte a merev körű gráfok vizsgálatát. Napjainkban ezek leginkább triangulated (azaz háromszögelt) vagy chordal (azaz húros) néven ismeretesek. A Gauss-Jordan elimináció hatékony számítógépes megvalósításában és a lehető legélesebb valószínűségi becslések készítésénél is hasznossá váltak. Algoritmuselméleti szempontból is kiemelkedő jelentőségű perfekt gráfok. A diplomamunka készítőjének feladata lenne egyrészt áttekinteni a kutatási ág jelenlegi helyzetét, másrészt egy napjainkban is vizsgált részterületen egy-két speciális kérdést alaposan is meg kellene tárgyalnia. Megfelelő táblázatokat és színes ábrákat is várunk.

Irodalom:

1. http://math.bme.hu/~hujter/fedlap4.pdf
2. http://math.bme.hu/~hujter/operkut4.pdf
3. http://www.combinatorics.org/Volume_15/PDF/v15i1r28.pdf

Téglalapok sűrű pakolásainak szerepe van egyrészt raktározási, szállítási feladatoknál, másrészt ütemezési kérdéseknél, de elméleti jelentőségű feladatoknál is. Hazánkban többek közt Csirik János, Dósa György, Galambos Gábor, Imreh Csanád, Iványi Antal, Vizvári Béla értek el eredményeket ezen a területen. Számos izgalmas kérdés felderítetlen maradt. A diplomamunka készítőjének feladata lenne egyrészt áttekinteni a kutatási ág jelenlegi helyzetét, másrészt egy napjainkban is vizsgált részterületen egy-két speciális kérdést alaposan is meg kellene tárgyalnia. Megfelelő táblázatokat és színes ábrákat is várunk.

Irodalom:

1. http://math.bme.hu/~hujter/further.htm
2. http://www.jgytf.u-szeged.hu/tanszek/sztt/pub/sztt.html
3. http://publishing.eur.nl/ir/repub/asset/11700/Two-dimensional_rectangle_packing.pdf
4. http://compalg.inf.elte.hu/~tony/Informatikai-Konyvtar/
5. http://www.inf.u-szeged.hu/~cimreh/csimreh.ps
6. http://www.springerlink.com/content/2lc5cv4jv3br976w/

Egy ragadozó faj és a táplálékaiként szolgáló zsákmány fajok alkotta ökológiai rend­sze­rek vizsgálata. A témában fellelhető irodalom összefoglalása. Diffúzió bevezetésének hatásának vizsgálata. Az eredmények számítógépes szimulációja.

A szakdolgozat fogalmazza meg különböző feltételek mellett a közönséges differenciál­egyenletek elmélete alaptételét. Utaljon a bizonyítási módszerekre. Példákon szemléltesse az előbbieket. Térjen ki a BME és jogelődjei matematikusai e téren elért eredményeire.

A téma választása azon hallgatóknak javasolt, akik az Alkalmazott matematikus mesterszak Alkalmazott analízis szakirány iránt érdeklődnek.

A szakdolgozat tekintse át a Boole-Bonferroni típusú valószínűségi korlátokat, illetve azok általánosításait, az ún. hipermultifák segítségével megadható korlátokat. Térjen ki a szorzat alakú valószínűségi korlátok vizsgálatára is.

A téma választása azon hallgatóknak javasolt, akik számítógépen számítani tudják a megismert korlátokat és így azok teszt feladatokon mért hatékonyságát össze is tudják hasonlítani.

Globális optimalizálási feladatok manapság a tudomány bármely területén megjelennek, ezek között nagy részben vannak olyan problémák, amelyekhez pontos, garantált optimumra van szükség. Ekkor megbízható globális optimalizálási algoritmusok segítségével kell megoldani a feladatot, ami a feladat típusától függően változhat.

A hallgatónak meg kell ismernie valamely globális optimalizálási algoritmust, amely garantált megoldást szolgáltathat, és adott feladat irányában ezt kell alkalmaznia, esetleg továbbfejlesztenie vagy összehasonlítania más módszerek eredményeivel.

Az adatbányászat és a kognitív tudományok határterületén fekvő kérdésekkel kell foglal­koznia a diáknak. Egy adott adathalmaz (hasonlósági mátrix, tulajdonságlista stb.) mögött felfedezhető látens struktúrákat próbálunk kinyerni értő elemzéssel.

Folytonos lelkületűeknek a nemlineáris dimenzió redukció, diszkrét lelkületűeknek a meta-nyelvtanalapú (gráfokon alapuló) struktúrakeresést ajánlom.

Irodalom:

Diszkrét struktúrák: The discovery of structural form. Kemp, C. and Tenenbaum, J. B. (2008). Proceedings of the National Academy of Sciences. 105(31), 10687-10692.

Nemlineáris dimenzió redukció: Unsupervised learning of curved manifolds. V. de Silva, J.B. Tenenbaum (2002). In D.D. Denison, M. H. Hansen, C. C. Holmes, B. Mallick and B. Yu (eds.), Nonlinear Estimation and Classification , Springer-Verlag, New York, 453-466.

Geometria Tanszék

A szimplektikus geometria a klasszikus mechanikai rendszerek fázistereinek tulajdonságait általánositó elmélet, és mint ilyen, jelentős szerepet játszik a mai differenciálgeometriai és elméleti fizikai kutatásokban. Ezen túlmenően, a kompatibilis komplex struktúrákon keresztül illeszkedik az algebrai geometriához is. A pályázó célja megérteni az elmélet alapvető pontjait: a szimplektikus sokaság és szimplektikus izomorfizmus fogalmát, a legegyszerűbb peldákat, a kanonikus Darboux-féle koordináta-rendszer létezését és néhány konstrukciót, peldául a Marsden-Weinstein hányadosét.

1. V. I. Arnold: A klasszikus mechanika matematikai módszerei, Műszaki Könyvkiadó, 1985,
2. D. McDuff, D. Salamon: Introduction to Symplectic Topology, Oxford University Press, 1998.

A CAD-rendszerek felületdefiniálási módszerei között előfordulnak az eltolási felületek különböző általánositásai, amelyek mozgatás közben megengedik a leíró és a pályagörbék transzformációit is. A kitűzött feladat az ilyen felületek analitikus leirása spline-görbék mozgatásával és folytonos transzformációival. Szükséges ismeretek a lineáris algebra, a differenciálgeometria és a szamitógépes grafika tárgyak tananyaga.

Felhasználható irodalom néhány angol nyelvű cikk a szakirodalomból.

nyelvismeret: angol

Háromdimenzióban a szokásos euklideszi geometrián kívül további hét maximális, egyszeresen összefüggo homogén Riemann geometria, ún. Thurston geometria létezik. A szokásos állandó görbületű geometriákban már számos diszkrét geometriai problémát felvetettek és megoldottak, de így is sok maradt megoldatlan. A további geometriákban viszont még az alapvető problémák így, a rácsfogalom, elhelyezési és fedési kérdések is részben nyitottak. A témakör kapcsolódik többek között a kristályok geometriájához, azaz anyagszerkezeti kérdésekhez is. A jelöltnek át kell tekintenie témakör eddigi lényeges eredményeit, módszereit, be kell kapcsolódnia a tanszéken folyó ilyen irányú kutatásokba, különös tekintettel a Bolyai Lobacsevszkij- féle hiperbolikus térre valamint a Sol és Nil terekre.

Irodalom:

1. E. B. Vinberg: Geometry II. Springer-Verlad , Berlin, Heidelberg, New York, 1993
2. L. Fejes Tóth: Regular figures, Pergamon Press, 1964, 339 pp
3. W. Thurston. Three-dimensional geometry and topology. Vol. 1. Edited by Silvio Levy. Princeton Mathematical Series, 35. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1997. 311 pp.

Cél, hogy a hallgató méginkább megismerje e (differenciál)geometriai szempontból oly jelentős felületet.

Irodalom: S. S. Chern: Some new characterisations of the Euclidean sphere című cikke és Manfredo P. do Carmo: Differential Geometry of Curves and Surfaces II. könyve jelent majd nagy segítséget számára.

nyelvtudás: angol

A Riemann-geometria egy központi, igen összetett fogalmát ismerheti meg a hallgató a dolgozat megirása folyamán.

Irodalom: Elsősorban John M. Lee: Riemannian manifolds...An introduction to curvature és Manfredo P. do Carmo: Differential Geometry of Curves and Surfaces II. című munkáinak felhasználásával.

Nyelvismeret: angol.

Célunk a síkmozgást végző forgó (R) és/vagy csúszó (P) izületeket tartalmazó manipulátor mozgásának leírása. Az izületek állapotát egy-egy (elfordulást ill. elmozdulást megadó) paraméter írja le. Ezen paraméterek időfüggését megadva vizsgálhatjuk a manipulátor által mozgatott objektum egyes pontjainak pályáját. Keressük a síkmozgás jellemzőit: a pólusgörbét, a póluspályát, a gyorsulási pólust, stb, és meghatározzuk a manipulátor karjainak burkolóit is. Inverz feladatként megvizsgáljuk, hogy a manipulátor egyes speciális görbék mentén való mozgásának megvalósításához hogyan kell megadni az izületek paramétereit. Célul tűzzük ki néhány jellegzetes eset szimulálását is valamely matematikai szoftverrel (pl. Maple-lel v. Mathematica-val).

Irodalom:

1. O. Bottema, B. Roth: Theoretical kinematics
2. M.W. Spong, M. Vidysagar: Robot dinamics and control

A szakdolgozat célja az algebrában és a geometriában megismert fogalmak szerves összekapcsolása, tartalmas (alkalmazáshoz is kötődő) bemutatása. A (valós) vektortérrel értelmezhető affin ponttéren a vektortér skalárszorzata a pontok közötti "távolságfogalmat" értelmez, melynek jellege függ a skalárszorzat szignatúrájától (diagonális alakjától, a Sylvester-tétel alapján). Pl. (+,+) a (valós) euklideszi sík, (+,-) a Minkowski (vagy pszeudoeuklideszi) sík, (+,0) az izotróp (vagy Galilei-féle) sík jellemzéséhez vezet. A 3-dimenziós vektortér "sugarain" a skalárszorzat projektív metrikákhoz vezet, a szignatúrától függen: (+,+,0) euklideszi sík, (+,+,+) szférikus "sík" (gömbfelület), (+,+,-) hiperbolikus sík, ... és így tovább. A minél több-oldalú bemutatás térjen ki a megfelel geometria transzformációcsoportjának jellemzésére, tükrözés-fogalmak, forgatások (és "körök"), háromszög- (vagy szimplex-) geometriai kérdéseire, esetleges differenciálgeometriai jellemzésére, stb, a szakdolgozó (önállóságának!) érdekldésének is megfelelően. A (számítógépes) illusztráció is nagyon fontos!

Irodalom: A témavezet eladásjegyzetei, cikkei alapján, de néhány algebra és geometria könyv részletei is jól felhasználhatók, pl.: Hajós György, Kerékjártó Béla, H.S.M. Coxeter, I.M. Jaglom, I. P. Jegorov (magyar), de pl. D. Hilbert, N. Bourbaki, E.B. Vinberg, A. Lichnerovicz, H. Sachs, stb.

Nyelvismeret: (angol, francia, orosz, német), a jelölt előzetes tájékozottsága és nyelvtudása alapján.

Végesdimenziós valós (complex) normált tér merőlegességének fogalmairól irandó dolgozat. Az érdekes máig lezáratlan téma számtalan kapcsolattal rendelkezik a funkcionálanalízis, konvex geometria, lineáris algebra témakörök felé is.

Irodalom:

1. J.Alonso and C.Benitez: Orthogonality in normed linear spaces: a survey. I.,II, Extracta Math., 3(1):1-15, 4(3):121-131
2. J.R.Giles: Classes of semi-inner-product spaces, Trans. Amer. Math. Soc., 129: 436-446

Sztochasztika Tanszék

A téma rövid ismertetése: A házaspároknak ajánlott, úgynevezett két életre szóló életbiztosítás árazása szokásos módon azon a feltevésen alapul, hogy a házastársak halálozási valószínűsége független. Statisztikai adatok kétségesé teszik e feltevés jogosságát. A szakdolgozatban statisztikai adatok elemzésével kell megvizsgálni van-e hatása a házastárs halálának a túlélő társ halálozási valószínűségére, és ha igen, hogyan lehet a függést modellezni.

Irodalom:

1. Carriere, J.F. (2000). Bivariate survival models for coupled lives. Scandinavian Actuarial Journal., 17-31.
2. Shemyakin, A. and Youn, H. (2006). Copula models of joint last survivor analysis. Applied Stochastic Models in Business and Industry, 22, 211-224.
3. Spreeuw, J. (2006). Types of dependence and time-dependent association between two lifetimes in single parameter copula models. Scandinavian Actuarial Journal, 286-309.
4. Jaap Spreeuw and Xu Wang: Modelling the short-term dependence between two remaining lifetimes (March 27, 2008)

Téma rövid ismertetése: Sokváltozós adatmátrixokban változók közötti kapcsolatok feltárására, a változók számának redukálására használt módszer. Lineáris algebrai és becsléselméleti technikák ismerete szükséges. Alkalmazás egy konkrét feladatra (SPSS).

Irodalom:

1. Mardia, Kent, Bibby: Multivariate Analysis, Acad. Press, New York, 2003 (konyvtarban elerheto)
2. Lawley, Maxwell: Factor analysis as a statistical method, Butterworths, London, 1971.

Téma rövid ismertetése: Adott függvény illesztése mintára, parametérek becslése. Polinomiális regresszió. Feltételes várható érték közelítése simításokkal. Alkalmazás egy konkrét feladatra (SPSS).

Irodalom:

1. Mardia, Kent, Bibby: Multivariate Analysis, Acad. Press, New York, 2003 (konyvtarban elerheto)
2. Breiman, Friedman: Estimating optimal transformations for multiple regression and correlation, JASA 80 (1985).

Téma rövid ismertetése: Kettő vagy több kategorikus változó kapcsolatának elemzése (közvéleménykutatások feldolgozása). Egyszeres és többszörös korrespondanciaanalízis. Lineáris algebrai és becsléselméleti technikák ismerete szükséges. Alkalmazas egy konkret feladatra (SPSS).

Irodalom:

1. Mardia, Kent, Bibby: Multivariate Analysis, Acad. Press, New York, 2003 (könyvtárban elérhető)
2. Bolla: Korrespondanciaanalizis, Alk. Mat. Lapok 13 (1987-88).
3. Renyi: On measures of dependence, Acta Math. ASH 10 (1959).

Téma rövid ismertetése: Rangkorreláció, Wilcoxon- és Mann-Whitney próbák. Kiterjesztés több diszkrét változó együttes vizsgálatára. Alkalmazás egy konkrét feladatra (SPSS).

Irodalom:

1. Mann, Whitney: On a test of whether one of two random variables is stochastically larger than the other, Ann. Math. Stat. 18 (1947).
2. Brunner, Puri: Nonparametric methods in factorial design, Statistical Papers 42 (2001).

Téma rövid ismertetése: A kombinanatorikus számelmélet egyik gyöngyszeme az az állítás, hogy 2n-1 egész közül mindig kiválasztható n darab, hogy az összegük osztható n-nel. Ennek kétdimenziós változatáról szóló sejtést pár évvel ezelőtt bizonyították. Magasabb dimenziókban sok a nyitott kérdés. A cél az eddigi szakirodalom feldolgozása és számítógépes vizsgálatok.

Irodalom:

1. Alon, Dubiner, Zero-sum sets of prescribed size, Combinatorics, Paul Erdős is eighty, Vol 1, 33-50, Bolyai Soc. Math. Stud., János Bolyai Math. Soc., Budapest, 1993
2. Elsholtz, Lower bound for multidimensional zero sums, Combinatorica 24 (2004), no 3, 351-358.
3. Reiher, On Kemnitz' conjecture concerning lattice-points in the plane, Ramanujan J. 13 (2007), no 1-3, 333-337.

Téma rövid ismertetése: Az önhasonló fraktálok elmélete jól megértett abban az esetben amikor a konstrukcióban természetesen előforduló cilinder halmazok jól szeparáltak egymástól. Azonban, ha ezen cilinder halmazok lényegesen átfedik egymást a fraktál szerkezete sokkal komplikáltabb. A kidolgozandó téma az úgynevezett véges típusú esetre vonatkozik. Ez egy regularitási feltétel teljesülését kívánja meg. Az utóbbi években ezen a területen sok nagyon érdekes eredmény született. A hallgató feladata ezen fraktálok dimenzió elméletének tanulmányozása és különösen az invariáns mértékek dimenzió elméletének tovább fejlesztése.

Irodalom:

1. J.E. Hutchinson, Fractals and self-similarity, Indiana Univ. Math. J. 30 (1981) 713-747.
2. K.-S. Lau, S.-M. Ngai, Multifractal measures and a weak separation condition, Adv. Math. 141 (1999) 45-96.
3. K.-S. Lau, X.-Y. Wang, Iterated function systems with a weak separation condition, Studia Math. 161 (3) (2004) 249-268.
4. K.-S. Lau, S.-M. Ngai, H. Rao, Iterated function systems with overlaps and self-similar measures, J. London Math. Soc. (2) 63 (1) (2001) 99-116.
5. K. S. Lau a, S. M. Ngai, A generalized finite type condition for iterated function systems. Advances in Mathematics 208 (2007) 647-671.
6. R.D. Mauldin, S.C. Williams, Hausdorff dimension in graph directed constructions, Trans. Amer. Math. Soc. 309 (1988) 811-829.

Téma rövid ismertetése: Legyenek A és B Cantor halmazok a számegyenesen. Az algebrai különbségük az a-b alakú számok halmaza, ahol az a szám a A halmaznak, míg a b szám a B halmaznak eleme. Az elmúlt évtizedekben sokan foglalkoztak J. Palisnak azzal a sejtésével, hogy valamilyen természetes értelemben 'tipikus' fenti alakú A,B halmazokra egy ilyen A-B algebrai különbség halmaz vagy kicsi abban az értelemben, hogy Lebesgue szerint nulla mértékű, vagy nagy abban az értelemben, hogy tartalmaz intervallumot. Ezt a kérdést sokan vizsgálták mind determinisztikus mind véletlen Cantor halmazokra. A kidolgozandó diplomamunka ezen kutatásokról ad összefoglalást és remélhetőleg némi új eredményt is produkál.

Irodalom:

1. M. Dekking, K. Simon, On the size of the algebraic difference of two random Cantor sets. Random Structures Algorithms 32 (2008), no. 2, 205--222.
2. K. J. Falconer, Random fractals, Math Proc Cambridge Philos Soc 100 (1986), 559--582.
3. C. G. T. de A. Moreira and J.-C. Yoccoz, Stable intersections of regular Cantor sets with large Hausdorff dimensions, Annals of Mathematics, Second Series 154 (2001), 45--96.
4. J. Palis, Homoclinic orbits, hyperbolic dynamics and dimension of Cantor sets, The Lefschetz centennial conference, Part III, Mexico City, 1984, Contemp. Math., vol. 58, Amer Math Soc, Providence, RI, 1987, pp. 203--216.

Téma rövid ismertetése: A fraktálok elméletében a leggyakrabban használt mérték a Hausdorff mérték. Ez körülbelül olyan idős mint a Lebesgue mérték és a legregulárisabban viselkedő fraktálok esetén hasonló szerepe van mint a Lebesgue mértéknek. Vannak azonban olyan esetek, amikor a dinamikusan definiált Cantor halmazon a dinamika által létrehozott legtermészetesebb mérték nem a Hausdorff mérték hanem a nála sokkal fiatalabb és kevésbé megértett pakolási mérték. A kidolgozandó munka azt a régóta létező hiányt fogja pótolni, hogy egy önmagában teljes összefoglalását adja a pakolási mérték legfontosabb tulajdonságainak és esetleg az alkalmazhatósági területeinek. Ezt a munkát kötelezően angolul kell elkészíteni. Olyan hallgató jelentkezését várom, aki szereti a mértékelméletet. Irodalom:

1. K. Falconer, P. Mattila, The packing dimension of projections and sections of measures. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 119 (1996), no. 4, 695--713.
2. K. Falconer, J.D. Howroyd, Packing dimensions of projections and dimension profiles. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 121 (1997), no. 2, 269--286.
3. M. Järvenpää, P. Mattila, Hausdorff and packing dimensions and sections of measures. Mathematika 45 (1998), no. 1, 55--77.
4. C. Tricot, "Two definitions of fractional dimension". Math. Proc. Cambridge Philos. Soc, 91 (1): 57-74, (1982).

Téma rövid ismertetése: Véletlen gráfokkal igen érdekes jelenségek modellezhetők: az internet mellett pl. bármilyen szociális hálózat (iWiW) is. Első igen általános modelljüket Erdős Pál és Rényi Alfréd vizsgálták a 60-as évek elején. Náluk az n szögpontú gráf éleit egymástól függetlenül p valószínűséggel húzzuk be, ez a binomiális gráf. Az Erdős-Rényi gráfok számos izgalmas és általános jellegű tulajdonsággal rendelkeznek, azonban az előbb említett, a valóságban fellépő modellek más statisztikát mutatnak.

A hallgató érdeklődésétől függően különböző irányokba lehet elmenni, az ötéves képzésben esetlegesen egyszerűbb önálló problémán is lehet gondolkodni:

1. Erdős-Rényi gráfok tulajdonságai
2. Más szabályok által generált, a valóságos hálózatokat jobban leíró gráfokra vonatkozó vizsgálatok,
3. Nagy gráfok limeszei.

1. R. Durrett: Random Graph Dynamics, Cambridge, 2007.
2. N. Alon - J. Spencer: The Porbabilistic Method,Wiley, 2002.
3. L. Lovász - B. Szegedy, Limits of Dense Graph Sequences, J. Comb. Theory, B96 (2006), 933-957

Téma rövid ismertetése: Az egydimenziós Brown-mozgás pályáinak 1 valószínűséggel sehol sincs növekedési pontja. Ezt a tulajdonságot kellene egyszerű, szimmetrikus bolyongásokkal való pályánkénti közelítés segítségével elemezni és erre egy elemi bizonyítást adni. Irodalom:

1. W. Feller, Bevezetés a valószínűségszámításba és alkalmazásaiba (főleg a 3. fejezet).
2. Dvoretzky, A.; Erdős, P.; Kakutani, S. Nonincrease everywhere of the Brownian motion process. 1961 Proc. 4th Berkeley Sympos. Math. Statist. and Prob., Vol. II pp. 103--116 Univ. California Press, Berkeley, Calif.
3. T. Szabados. An elementary introduction to the Wiener process and stochastic integrals. Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica, 31: 249-297, 1996.

Téma rövid ismertetése: Síkbeli tartományon mozgó, egymásra ható, memória nélküli részecskék szimulációja és statisztikai vizsgálata.

Irodalom:

1. W. Feller, Bevezetés a valószínűségszámításba és alkalmazásaiba (főleg a 17. fejezet).
2. T. Szabados, G. Tusnády., L. Varga, T. Bakács. A stochastic model of B cell affinity maturation and a network model of immune memory. Manuscript, 1998.
3. T. Bakács, J. Mehrishi, T. Szabados, L. Varga and G. Tusnády. Some aspects of complementarity in the immune system: A bird's eye view. International Archives of Allergy and Immunology, 126: 23-31, 2001.

Téma rövid ismertetése: Sok területen a bonyolult folyamatokat leíró tudományos modellek vizsgálatának legelterjedtebb - bizonyos esetekben kizárólagos - módja a számítógépes szimuláció. Ez egyaránt igaz determinisztikus modellekre (ú.n. dinamikai rendszerekre), ahol a modellezett rendszer pillanatnyi állapota egyértelműen meghatározza a jövőjét, és sztochasztikus folyamatokra, ahol a modellben a jövő alakulásában a véletlennek is szerepe van. Mindkét esetben élesen vetődik fel a kérdés, hogy a szimuláció eredményének mi köze van a modell "tényleges" vagy "egzakt" tulajdonságaihoz, hiszen gyakori jelenség, hogy a számolás során elkerülhetetlen kis numerikus hiba a szimuláció során gyorsan felnő, lehetetlenné téve a rendszer tényleges sorsának nyomon követését (a modell "kaotikus"). Szinte meglepő, hogy milyen gyakran - és milyen sok kérdésben - lehet mégis a szimulációkból helyes következtetéseket levonni.

Ennek a szakdolgozatnak a célja nagyon egyszerű kaotikus, _determinisztikus_ rendszerekben a szimulációk megbízhatóságát tanulmányozni. Ennek érdekében vizsgáljuk, hogy a szimuláció eredménye hogyan függ a diszkretizálás módjától, a számítás pontosságától, a program konkrét megvalósításától. Néhány olyan rendszerre, ahol a vizsgált viselkedés elméleti úton is ismert vagy számolható, a szimuláció eredményét össze tudjuk vetni a "valósággal" is.

A szakdolgozat során alkalom nyílik megismerkedni a dinamikai rendszereket jellemző legfontosabb tulajdonságokkal, mint pl. "invariáns mérték", "hiperbolicitás", "ergodicitás", "Ljapunov-exponens", "keverés". Ezeknek a tulajdonságoknak a szimulációja a szakdolgozat tényleges tárgya.

Ajánlott irodalom

A problémáról: S. Ulam, Problems in modern mathematics, Interscience Publishers, 1960.

A dinamikai rendszerek elemi tulajdonságairól: Szász Domokos: Dinamikai rendszerek egyetemi előadás-jegyzet http://www.math.bme.hu/~szasz/eedr/dinrend.pdf

A diszkretizációról: Gábor Domokos: Coarse-grained observation of discretized maps International Journal of Bifurcation and Chaos, Vol. 15, No. 3 (2005) 861-870

Szükséges nyelvtudás: angol, olvasási szinten

Szükséges továbbá: programozási tudás és hajlam

Téma rövid ismertetése: Az (X_1,X_2,...,X_n) valószínűségi változók felcserélhetőek, ha együttes eloszlásuk invariáns a változói tetszőleges permutációjára. Az (X_1,X_2,...) végtelen valószínűségi változó-sorozat felcserélhető, ha minden véges része felcserélhető az előbbi értelemben. A végtelen felcserélhető sorozatokat De Finetti híres tétele jellemzi. Érdekes kérdés, hogy egy termésyetes módon adott véges felcserélhető sorozat beágyazható-e egy végtelen felcserélhető sorozatba (általában persze nem), illetve, milyen hosszú felcserálhető sorozatba ágyazható be. A szakdolgozó megérti a De Finetti tételkört és alkalmazásait és a fenti értelemben vett felcserélhető kiterjesztések problémáját vizsgálja konkrét, természetes módon adott példákban.

Irodalom:

1. W. Feller: An Introduction to Probability Theory and its Applications. Vol. 2., John Wiley and Sons, New Zork, 1966.
2. D. Aldous: Exchangeability and related topics. École d'été de probabilités de Saint-Flour, XIII---1983, 1--198, Lecture Notes in Math., 1117, Springer, Berlin, 1985.
3. T.M. Liggett, J.E. Steif, B. Tóth: Statistical mechanical systems on complete graphs, infinite exchangeability, finite extensions and a discrete moment problem. The Annals of Probability 35 (2007) 867-914

Kidolgozandó feladat: Egy szimulációs program-csomag elkészítése

Téma rövid ismertetése: A feladat célja, hogy a szimulációs program-csomag a valószínűségszámításban vagy a sztochasztikus folyamatok elméletében vagy a matematika statisztikában egy témakör fogalmait, tételeit közérthetően szemléltesse, továbbá látványos példákat mutasson be úgy, hogy a program-csomag használója a paraméterek változtatásával maga is aktív részese lehessen a véletlennel kapcsolatos törvények elemzésében.

Irodalom: A választott számítógépes programnyelv és a kiválasztott matematikai témakör irodalmának ismerete

Nyelvismereti követelmények: angol

Számítástudományi és Információelméleti Tanszék

Szekventált DNS szakaszok vizsgálatakor gyakran találkozunk a mintaillesztés feladatával. Hibamentes adatokat feltételezve ez a szokásos mintaillesztési feladatot jelenti, hibákat tartalmazó esetben azonban más módszerekre van szükség. A diplomázó feladata, hogy áttekintse és rendszerezze a témakör alapvető algoritmusait, adatszerkezeteit és bonyolultsági eredményeit.