AJÁNLÁS RENDES TAGSÁGRA

Csak néhányat ragadunk ki az azóta írt több, mint 30 számelméleti, analitikus, kombinatorikus, algebrai témájú dolgozatából.

A levelező tagságra való ajánlásban már említésre került az általános sorozatok additív elméletének egyik alaptételére adott új bizonyítása. Akkor még óvatosan fogalmaztunk: a tétel eredeti bizonyításával kapcsolatban kétségek merültek fel. Ma már mondhatjuk, hogy a tételt, amelyet az elmélet megalapozója iránti tiszteletből továbbra is Freiman tételnek nevez, elsőként Ruzsa Imre bizonyította be teljesen.

Bizonyításának egyik módszerét felhasználja Gowers a sűrű sorozatokban található számtani sorozatok tételének új, immár harmadik bizonyításában és effektívebbé tételében; (talán nagy)részben ezért az eredményéért tüntették ki Fields éremmel. A Freiman tételt nemrég szintén effektivizálták, ami ugyancsak Ruzsa bizonyításán alapul. A tételt most készülő dolgozatában (társszerzővel közösen) más irányban maga is jelentősen általánosítja.

Az analízisben és a számelméletben szerepet játszó Sidon halmazok elméletét – ezek olyan halmazok, amelyek elemeivel képzett kéttagú összegek mind különbözőek – korábban is alapvető eredményekkel gazdagította. Nemrégen megmutatta (l. [124] a dolgozatlistában), hogy alkalmas valós c-vel az x⁵+cx⁴ polinomnak a természetes számokon felvett értékei egész részei ilyen halmazt alkotnak. Ez egy első lépés a nevezetes sejtés felé, miszerint c = 0 is ilyen, más szóval az x⁵+y⁵ = v⁵+z⁵ diofantikus egyenletnek csak triviális megoldásai vannak, ami ma még megközelíthetetlennek tűnik.

A Fourier analízis sokáig megoldatlan, elvi jelentőséggel is bíró problémája volt Littlewood sejtése az n tagú (csupa 1 együtthatós) cosinus összegek L₁ normájának alsó becsléséről. A mára már megoldott probléma első megközelítéseként a Fields érmes Roth azt vizsgálta, hogy milyen nagy negatív értéket kell egy ilyen összegnek felvennie. A legjobb eredmény a szintén Fields érmes Bourgain-től származott addig, amíg nagyságrendi becslését Ruzsa lényegesen nem javította ([139]), bár a pontos válasz még nem ismeretes.

Természetes feltételezés, hogy a szomszédos prímszámok nagyjából az esetek felében azonos, a másik felében különböző maradékot adnak mod 4. A különböző maradékosztályokba eső prímek eloszlásával foglalkozó összehasonlító prímszámelmélet mély analitikus módszerei ilyen kérdésekben csődöt mondanak. Meglepő módon Ruzsának elemi számelméleti úton sikerült kimutatni a jelenséget ([127]) viszonylag nagyszámú esetben, még ha nem is az esetek felében. (Tőle függetlenül valamivel korábban másvalaki is hasonló, de gyengébb eredményre jutott.) Foglalkozott ezenkívül (társszerzőkkel közösen) klasszikus analitikus számelméleti kérdésekkel is, a Goldbach problémával ([135]), multiplikatív együtthatójú exponenciális összegekkel ([114], [125]). Az utóbbira adott szellemes bizonyítása a dicséretekkel fukar A. Selbergnek, a számelmélet egyik legnagyobb ma élő alakjának is nagyon tetszett. (Formálisan talán komolyabb elismerésnek minősül, hogy meghívták a jövő évi európai matematikai kongresszusra plenáris előadás tartására.)

A levelező taggá való választása óta több merényletet követtek el ellene – a Matematikai Osztályon is – a matematikai közéletbe való bevonására. Ezekkel szemben meglepően kis ellenállást fejtett ki: a Bolyai János Matematikai Társulat tudományos szakosztályának elnöke, az Akkreditációs Bizottság matematikai szakbizottságának társelnöke, tagja a Bolyai ¨ Ösztöndíj matematikai bizottságának és számos hazai és külföldi folyóirat szerkesztőségének. Kutatói habitusának jellemző vonása – még ha az itt tárgyalt periódus nem is a legjobb példa erre –, hogy új témákba gyorsan beletanul, és hamar érdemleges eredményekkel gazdagítja azokat; úgy tűnik, ez közéleti tevékenységére is érvényes.

Ajánlók:

T. Sós Vera

Szemerédi Endre

Halász Gábor

Győry Kálmán

Laczkovich Miklós