Vszv_2006_06_13

1. A Királyfi, amíg él, sosem adja fel, hogy Szerelméért megküzdjön a Sárkánnyal. Az n-ik viadalon annak az esélye, hogy a viadal döntetlenül végződik, és így újabb viadalra kerül sor, 0,5; annak az esélye, hogy a Királyfi legyőzi a Sárkányt, és így elnyeri Szerelmét, 0,5ⁿ ; és 0,5 - 0,5ⁿ valószínűséggel a Királyfi – sajnos – meghal (n=1,2,3,…). Mi a valószínűsége annak, hogy pontosan 2 viadallal a Királyfi elnyeri Szerelmét? Mi a valószínűsége annak, hogy kevesebb mint 4 viadallal a Királyfi elnyeri Szerelmét? Mi a valószínűsége annak, hogy a Királyfi valaha is elnyeri Szerelmét?

2. Egy szelvénnyel játszom az ötös lottón (ahol 90 számból 5-öt húznak ki). Számaim: 17, 27,37,47,57. Feltéve, hogy a kihúzott számok egyike sem nagyobb 60-nál, mi a valószínűsége annak, hogy 3 találatom lesz?

3. Egy szabályos dobókockával és egy szabályos oktaéderrel (8 oldalú szabályos test), melynek oldalai 1-től 8-ig számozottak, dobunk. Adja meg a dobott számok összegének az eloszlását!

4. Tegyük fel, hogy egy kocka éleinek hossza olyan valószínűségi változó, ami egyenletes eloszlást követ 2 és 4 cm között. Adja meg a kocka térfogatának a sűrűségfüggvényét és várható értékét!

5.
Mi lehet a magyarázata annak, hogy egy alkatrész élettartama exponenciális eloszlást követ?
Mi lehet a magyarázata annak, hogy egy műszer élettartama másodrendű gamma eloszlást követ?
Mi lehet a magyarázata annak, hogy egy műszer élettartama harmadrendű gamma eloszlást követ? (Mindhárom kérdésre adjon tömör magyarázatot!)

6. Ha egy városban júniusban minden nap, a többitől függetlenül átlagosan 1 cm³ eső esik 0,5 cm³ szórással, akkor mennyi az az esőmennyiség, mely 0,8 valószínűséggel összegyűlik júniusban? (Júniusban 30 nap van. A standard normális eloszlás eloszlásfüggvénye, avagy annak inverze segítségével adjon képletet a kérdezett küszöbre!)