Vszv_2002_01_21_mo

A 2002. 01. 22-i vizsga feladatainak egy-egy megoldása

1.

A 31 golyó 31!-féleképpen rakható sorba. A piros golyó lehetséges pozíciói: 1, 2, … 30, 31. Minden pozíciónak ugyanakkora a valószínűsége, hiszen a többi golyót mindig 30!-féleképpen tehetjük a többi helyre: 30! / 31! = 1/31. A piros golyó pozíciójának várható értéke

(1+2+…+30+31) / 31 = ( 31 (31+1) / 2 ) / 31 = (31+1)/2 = 16.

2.

Ha a piros golyó a 13-ik a sorban, akkor az előtte lévő 12 golyót a 10 fehér és a 20 piros közül választottuk. Ezért a piros golyó előtt lévő fehérek száma hipergeometrikus eloszlást követ N=30, M=10, n=12 paraméterekkel. Ennek az eloszlásnak a lehetséges értékei: 0, 1, … 12. Az eloszlás szerint a k-hoz tarozó valószínűség:

( COMB(M,k) * COMB(N-M,n-k) ) / COMB(N,n) .

3.

Ha X jelöli azt, hogy hány ember megy be a boltba 10 perc alatt, akkor X Poisson- eloszlású valamilyen t paraméterrel, hiszen a sok ember mindegyike egy-egy potenciális vásárló, és mindegyikük – a többitől függetlenül – kis valószínűséggel megy be a boltba az alatt a 10 perc alatt, amit megfigyelünk.

A feladat szövege szerint 1.5 P(X=1) = P(X=2) . A Poisson-eloszlás képletét felhasználva ebből t=3 adódik.

Ha Y jelöli azt, hogy 5 perc alatt hány ember megy be a boltba, akkor nyilván Y is Poisson-eloszlású valamilyen s paraméterrel.

Mivel Poisson-eloszlás esetén a paraméter egyben a várható érték is, nyilvánvaló, hogy s = t/2 = 1.5 .

Tudjuk, hogy a Posson-eloszlás legnagyobb tagja a paraméter egész részénél van, vagyis Y legvalószínűbb értéke az 1.

Tehát öt perc alatt a legvalószínűbb az, hogy 1 vásárló megy be a boltba.

4.

Jelölje X, illetve Y azt, hogy mennyi időt kell várnunk az első, illetve a második járműre. A feladat szövege szerint ezek egymástól független, külön-külön egyenletes eloszlású valószínűségi változók a (0,5) intervallumon, ezért sűrűségfüggvényeik f(x)=1/5 (0<x<5), illetve g(y)=1/5 (0<y<5). Bennünket az X+Y összeg sűrűségfüggvénye érdekel. Független valószínűségi változók összegének a sűrűségfüggvénye a külön-külön vett sűrűségfüggvények konvolúciója. A megadott két függvény konvolúcióját kiszámolva h(z)= z/25 (0<z<5), illetve h(z)=(10-z)/25 (5<z<10) adódik.

5.

Ebben a megoldásban az F függvény inverzét G-vel jelöljük.

Az Y = F(X) valószínűségi változó egyenletes eloszlású a (0,1) intervallumon, hiszen 0<y<1 esetén

P( F(X) < y ) = P( X < G(y) ) = F(G(y)) = y .

A feladatban megnevezett integrál nem egyéb, mint az F(X) valószínűségi változó várható értéke, ami a (0,1) intervallumon vett egyenletes eloszlásra 0.5.

6.

Az üzlet napi bevétele sok, relatíve kicsi érték összegeként áll elő, hiszen az üzlet napi bevétele az egyes vásárlók által fizetett pénzek összege. Ezért a napi bevételt normális eloszlásúnak vehetjük valamilyen m várható értékkel és s szórással.

Az üzlet heti bevétele hét darab ilyen eloszlást követő független valószínűségi változó összege, ezért a heti bevétel várható értéke m-nek hétszerese, a heti bevétel szórása pedig s-nek négyzetgyök hétszerese. Tehát a napi bevétel m várható értéke a három és fél millió hetede, a napi bevétel s szórása pedig hétszázezer osztva négyzetgyök héttel.

Annak valószínűségét, hogy a napi bevétel nem haladja meg az 1,2 milliót, standardizálás után a standard normális eloszlás eloszlásfüggvényének táblázatából lehet kinézni. A kapott értéket 1-ből kivonva megkapjuk a keresett valószínűséget:

P(a napi bevétel > 1.2 millió) = 1 – Fi(2,65) = 0,004.