1. FÉLÉV TEMATIKÁJA

1. Alapfogalmak

Matematikai kijelentések szerkezete, alapveto matematikai objektumok: halmazok, relációk, függvények, muveletek, ezek legfontosabb osztályai és tulajdonságaik. Izomorfizmus. Test. Intervallum fogalma és fajtái, korlátosság, supremum, infimum; függvények gráfja, monotonitása és korlátossága. Inverz. Számosság.

2. Halmazalgebra

Definíció, halmazok azonossága, üres halmaz. Muveletek, rendezés. Legfontosabb muveleti azonosságok. Halmazalgebrai állítások bizonyítása a halmazok azonosságának definíciója segitségével egyrészrol, algebrai módszerekkel másrészrol.

3. Vektoralgebra

Koordinátamentes tárgyalás

Definíció: állás, irány, nagyság. Abszolút érték, muveletek, skalár szorzat, vegyes szorzat, speciális vektorok. Alapfogalmak és elemi tételek: vetület, terület, térfogat. Merolegesség, párhuzamosság, egysíkuság, zárt vektorsokszög. Abszolút érték és skalár szorzat, háromszög egyenlotlenségek. Kifejtési tétel, vegyes szorzat tulajdonságai. Speciális alakzatok - sík, egyenes, gömb - egyenletei. Alkalmazások (pl. sinus- és cosinus-tétel), példák.

Koordinátás tárgyalás

Definíció, muveletek. Speciális alakzatok - sík, egyenes, gömb - egyenletei. Elemi koordinátageometriai feladatok: térelemek metszése (döfése), távolsága, vetítése, tükrözése. Példák.

4. A valós számok teste

Számkörbovítés: . R az egyetlen felso határ tulajdonságú rendezett test. Következmények: R archimédeszi, Q suru R- ben és fennáll a Cantor axióma.

5. Komplex algebra

Számkörbovítés, komplex számok definíciója, komplex aritmetika. Alapfogalmak: valós- és képzetes rész, konjugált, abszolút érték; ezekre vonatkozó elemi ismeretek. Trigonometrikus alak, muveletek trigonometrikus alakban, gyökvonás. Példák.

6. Számsorozatok

Definíció, megadás. Alapfogalmak: konvergencia, divergencia, korlátosság, monotonitás, részsorozat, surusödési érték, végtelenhez való divergencia. Példák, elemi tételek. Bolzano-Weierstrass tétel és bizonyítása. Nevezetes sorozatok. Muveletek hatása a konvergenciára és divergenciára. Határérték számítás. Cauchy kritérium. Limsup, liminf. Rekurzívan adott sorozatok. A végtelen sor mint speciális sorozat.

7. Valós egyváltozós függvények alapveto tulajdonságai

Függvény, értelmezési tartomány, értékkészlet. Szemléltetés, függvény gráfja, példák. Muveletek függvények körében, inverz. Globális tulajdonságok: párosság/páratlanság, periodicitás, korlátosság (sup, inf), monotonitás, konvexitás/konkávitás. Elemi függvények és alapveto tulajdonságaik: polinomok, racionális törtfüggvények, algebrai függvények, transzcendens függvények : trigonometrikus függvények és inverzeik, exponenciális függvények és inverzeik, hiperbólikus függvények és inverzeik.

8. Folytonosság, függvény határértéke

Definíciók, példák. Végtelen és végtelenben vett határérték. Szakadási helyek osztályozása. Elemi tételek. Átviteli elv. Nevezetes határértékek, határértékszámítás. Példák. Egyenletes folytonosság. Elemi függvényekbol felépített függvények folytonosságának vizsgálata és ábrázolása. Példák. Folytonos függvények viselkedése zárt korlátos intervallumon: a Weierstrass-, Bolzano- és Heine-tétel. A Weierstrass-tétel bizonyítása.

9. Differenciálszámítás

Definíció, szemléletes jelentés, példák. Jobb- és baloldali ill. többszörös derivált. Elemi tételek. Differenciálási szabályok, láncszabály, elemi függvények deriváltjai. Pontosan n-szer folytonosan ill. nem folytonosan deriválható függvények konstrukciója. A derivált szakadásai : a Darboux-tétel és bizonyítása. A differenciálszámítás alkalmazásai:

Rolle-, Lagrange-, Cauchy-középértéktételek és következményeik. L'Hospital szabály, alkalmazásai és alkalmazásának korlátai. Függvényvizsgálat: monoton szakaszok, szélsoérték, konvexitás/konkávitás, inflexiós pont. Szélsoértékfeladatok. A derivált geometriai jelentése, érintoszámítás. Egyenletek közelíto megoldása: az intervallumfelezo és az érintomódszer.

10. Integrálszámítás

Határozott integrál

Felosztás és annak finomítása. Alsó-, felso-, oszcillációs-, integrál közelíto összeg. Alsó-, felso integrál. Határozott integrál. Példák. Fotétel: f integrálható iff az oszcillációs összegek infimuma 0. Integrál mint az integrálközelíto összegek határértéke. Integrálhatóság elégséges feltételei. Integrál tulajdonságai és az integrál középérték tétel.

Primitív függvény

Definíció és példák. Primitív függvény keresés:

Alapintegrálok. Integrál lineáris homogén operáció. Láncszabály megfordítása. Trigonometrikus függvények szorzatai. Teljes négyzetté való kiegészítés. Parciális integrálás. Racionális törtfüggvények. Helyettesítések.

Integrálfüggvény

Integrálfüggvény mint primitív függvény. Newton-Leibniz formula. Integrálhatóság és primitív függvény létezésének kapcsolata.

Transzcendens függvények definiálása integrálfüggvénnyel