Mérnök-fizikus matematika szigorlat

A szigorlat szóbelibõl és  írásbelibõl áll. Ezekre 50-50 pontot lehet kapni.  Az összesített pontok alapján a szigorlati jegy 1, 2, 3, 4, 5, a ponthatárok rendre 0-39,  40-54, 55-69, 70-84, 85-100 pont. Az írásbeli vizsga 90 perces,  4 példát kell ez alatt az idõ alatt megoldani. A  40 %-ot mindkét vizsgarészbõl el kell  érni, ez speciálisan azt is jelenti, hogy 20 pontos írásbelivel már belépõt lehet szerezni a szóbeli vizsgára. A szóbeli vizsgán két tételt kap mindenki.

Tételek :

1. Valós és komplex számok, elemi függvények. Monoton és konvergens sorozatok, a folytonossági axióma. Nevezetes határértékek. Végtelen sorok, hatványsorok, az exponenciális függvény. Taylor sorfejtés egy változóban.

2. Egyváltozós valós függvények. Folytonos és differenciálható függvények alaptulajdonságai, lokális szélsőérték feltételei. Riemann-integrál és alkalmazásai.

3. Többváltozós függvények folytonossága, differenciálása, érintősík és a gradiens. Implicit függvények. Lokális és feltételes szélsõ értékek. Többváltozós függvények integrálása. Fubini tétel, integrálás helyettesítéssel, alkalmazások.

4. Görbék és felületek. Skalár-vektor és vektor-vektor függvények differenciálása. Gradiens, divergencia, rotáció. Laplace operátor. Görbevonalú koordinátarendszerek.

5. Vektor-vektor függvények vonal- és felületi integráljai.  Integrál átalakító tételek (Gauss-Osztrogradszkij, Stokes, Green). Potenciál létezésének feltételei.

6. A lineáris algebra alapfogalmai. Vektortér konstrukciók, tenzorok kovariáns/kontravariáns koordinátái. Lineáris egyenletrendszerek, mátrixok, determinánsok. Euklideszi tér, geometria, skaláris és vektoriális szorzat. Lineáris transzformációk típusai.

7. Mátrixok, sajátérték, sajátvektor, karakterisztikus polinom, minimálpolinom, mátrixok hasonlósága, Jordan-féle normálalak, mátrix függvények, speciális mátrixok, önadjungált mátrixok spektrálfelbontása, szimmetrikus mátrixok és kvadratikus alakok osztályozása.

8. Közönséges differenciálegyenletek és rendszerek. Egzisztencia, unicitás, folytonos függés. Elemi úton integrálható egyenletek. Közelítő megoldási módszerek. Stabilitás, Ljapunov függvények, Ljapunov-tétele.

9. Lineáris differenciálegyenletek és rendszerek.  Egyensúlyi helyzet stabilitásvizsgálata linearizálással. Laplace transzformáció és alkalmazásai differenciálegyenletek megoldására. Fourier sorok. Hővezetési- és hullámegyenlet peremértékfeladatainak megoldása változók szétválasztásával. D’Alambert formula.

10. Komplex függvénytan. Cauchy-Riemann egyenletek, analitikus függvények. Komplex vonalintegrálok, Cauchy tétele és formulái. Laurent sor, rezidumszámítás. Laplace és Fourier transzformáció.

------------------------------------

11. Topológiai alapfogalmak és Banach terek, példák. A Weierstrass-féle approximációs tétel és következményei, a folytonos függvények tere.

12. L_p-terek, dualitás, nevezetes egyenlőtlenségek.

13. A Hilbert-tér. Ortogonalitás, ortogonális komplementer és a Riesz-féle felbontási tétel.  Riesz-Fischer tétel. Lináris operátorok adjungáltja, nevezetes lineáris oprátorok.

14. Ortogonális polinomrendszerek  és Fourier-sorok.

15. Lineáris operátorok spektruma, példák. A spektrum részei.

16. Önadjungált operátorokra vonatkozó spektráltétel. Kompakt operátorok.

17. Feltételes valószínűség – teljes esemény-rendszerek, teljes valószínűség tétele –Bayes-tétel és torony-szabály – páronkénti és teljes függetlenség – kombinatorikus és geometriai problémák. Diszkrét valószínűségi változók, nevezetes eloszlások (bináris, hipergeometrikus, binomiális, Poisson, geometriai [örökifjúság!], negativ-binomiális) – binomiális eloszlás Poisson-approximációja. Példák és alkalmazások.

18. Valószínűségi változó általános fogalma, eloszlásfüggvény és sűrűségfüggvény alaptulajdonságai. Nevezetes abszolút folytonos eloszlások (egyenletes, exponenciális [örökifjúság!], normális, Cauchy, log-normális). Valószínűségi változók jellemzői: várható érték, szórásnégyzet, momentumok – Steiner-tétel. Valószínűségi változó és eloszlásfüggvény/sűrűségfüggvény transzformálása. Valószínűségi változók várható értékének és szórásnégyzetének számolása. Gauss-integrálok, a normális és az exponenciális eloszlás momentumai.

19. Több valószínűségi változó együttes eloszlása, többdimenziós eloszlásfüggvények – nevezetes együttes eloszlások (polinomiális, polihipergeometrikus, többdimenziós normális). Perem- és feltételes eloszlások, valószínűségi változók függetlensége. A várható érték vektor és a kovariancia mátrix, Schwarz-tétele. A többdimenziós normális eloszlás.

20. Markov- és Csebisev-egyenlőtlenség, a nagy számok gyenge törvénye (második momentummal). Normális fluktuációk nagyságrendjének számolása, Stirling-formula, DeMoivre-Laplace tétel, alkalmazások.