NÉV: NEPTUN KÓD:

Lineáris algebra  3. vizsga  2009. január 21.

\underline{I. rész.} Ebben a részben minden helyes válasz 3 pontot ér. Indokolni csak akkor kell, ha a feladat ezt kéri. A választ a keretbe írjuk!

1. Írja fel a komplex primitív 6-dik egységgyökök algebrai alakját!

2. Mondja ki Moivre-képletet tartalmazó tételt!

3.

Adja meg az f(x) = x^{2009} + 1 polinomnak a g(x) = x^{2010} + 1 polinommal való maradékos osztásánál maradékként fellépő r(x) polinomot!

r(x) =

4. Mondja ki azt a tételt, amely szükséges és elégséges feltételt ad arra, hogy ugyanazon F test feletti két polinom relatív prím legyen!

5.

Adjon meg olyan a egész számot az (1, 5) nyílt intervallumban, amelyre az f(x) = 8x^{4} + 6x^{3} − 4x^{2} + 2x + a polinom primitív!

Pl. a =

6. Írja fel a Vieta-formulákat!

7.

Az alábbi polinomok közül melyek reducibilisek a megadott polinomgyűrűben?

f(x) = 5x^{4} − 2x^{2} + 2002 ∈ ℤ[x]

g(x) = x^{2} + x + 1 ∈ ℤ_{3}[x]
h(x) = x^{2} + 3x − 3 ∈ ℝ[x]

8.

Adja meg az a értékét úgy, hogy az [ \begin{matrix}1 & 0 & 5 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & a \end{matrix} ], [ \begin{matrix}2 & 0 & 1 \\ 0 & 5 & 9 \\ 1 & 0 & 2 \end{matrix} ]

mátrixok karakterisztikus polinomjai megegyezzenek.

a =

9.

Adja meg az A = [ \begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & a \end{matrix} ] matrix a elemét úgy, hogy teljesüljön

a det(AB) = det(B^{3}) egyenlőség, ahol B = [ \begin{matrix}1 & 3 \\ 2 & 8 \end{matrix} ].

a =

Lineáris algebra  3. vizsga/2  2009. január. 21.

10.

Adja meg az A mátrix inverzében a második sor első elemét, ha

A = [ \begin{matrix}1 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \end{matrix} ]

11. Mondja ki a Cramer-szabályt!

12.

Páros, vagy páratlan az 1, 2, 3, 4, 5, 6 elemek 6, 3, 2, 4, 5, 1 permutációja? Adja meg az inverziók számát is!

13. Mondja ki a rangszámtételt!

14.

Adja meg az A = [ \begin{matrix}1 & 2 \\ a & b \end{matrix} ] valós mátrix a, b elemeit úgy, hogy a

mátrix nyoma 7 legyen, s az A\underline{x} = \underline{0} lineáris egyenletrendszernek legyen nem-triviális megoldása!

a, b =

15. Mondja ki a determináns kifejtése, illetve ferde kifejtése néven ismert állításokat!

16.

Legyen A ∈ M_{3}(ℂ) és b = [ 1 2 3 ]^{T}. Jelöljük nyilakkal, hogy az (1), (2), (3) állítások közül melyikből melyik következik! (1): A rangja 3. (2): Ax = b egyértelműen megoldható. (3): A oszlopvektorai lineárisan függő rendszert alkotnak.

{(1) (2) \atop (3)}

17. Mondja ki vektorrendszer lineáris függetlenségének szükséges és elégséges feltételét tartalmzó tételt!

18.

Az alábbiak közül melyek igazak az a = [ 3 2 2 4 ]^{T} , b = [ 0 2 1 4 ]^{T} , c = [ 1 0 0 1 ]^{T} vektorrendszerre? (1): Az általuk kifeszített altér dimenziója 3. (2): lineárisan független rendszer. (3): (1) és (2) közül egyik sem.

A helyes válasz:

Lineáris algebra  3. vizsga/3  2009. január. 21.

19.

Írja fel a B = \{[ \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} ]\} bázisban [ \begin{matrix}1 & −1 \\ 1 & −2 \end{matrix} ] mátrixú lineáris

transzformáció új mátrixát a B′ = \{[ \begin{matrix}3 \\ 1 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}5 \\ 2 \end{matrix} ]\} bázisban!

20.

Adjuk meg a [ \begin{matrix}0 & i \\ i & 1 \end{matrix} ] mátrix sajátértékeit!

A sajátértékek:

21.

Egy valós M mátrix minimálpolinomja m_{A}(x) = (x − 1)^{2}(x + 1)(x^{2} − 2). Az alábbi feltételek közül melyek igazak? A: M diagonalizálható ℝ felett. B: M hasonló egy Jordan mátrixhoz ℝ felett.

22.

Hány Jordan-blokkból áll az A mátrix Jordan-normálalakja, ha k_{A}(x) = (x − 2)^{3}(x + 3)^{2}(x − 1)^{2}x, és m_{A}(x) = (x − 2)^{3}(x + 3)^{2}(x − 1)x?

A Jordan-blokkok száma:

23. Milyen jellegű az x^{2} + y^{2} + 2z^{2} + 4xy valós kvadratikus alak?  A jelleg:

24. Mondja ki a Sylvester-féle tehetetlenségi tételt!

25.

Döntse el, hogy az A = [ \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} ] mátrixra melyik teljesül az

alábbi tulajdonságok közül, és írja a megfelelő betűjel(ek)et a keretbe!

S: szimmetrikus O: ortogonális F: ferdén szimmetrikus E: egyik sem

\underline{II. rész.} Ebben a részben tételeket kell ismertetni és bizonyítani. Ügyeljünk a pontos fogalmazásra! A dolgozat hátlapjára írjunk!

A. Bizonyítsa be, hogy reguláris mátrixnak egy és csak egy inverze van! (12 pont) B. Mondja ki és bizonyítsa be a komplex bilineáris funkcionálok és a komplex kvadratikus alakok kapcsolatára

vonatkozó tételt! (13 pont)

OSZTÁLYZATOK: A vizsgán elért osztályzatot az összpontszám alapján az alábbiak szerint számoljuk ki:

Összpontszám  0 − 39 40 − 54 55 − 67 68 − 79 80 − 100
Osztályzat  1  2  3  4  5

Aki legalább 50 pontot elér az írásbeli vizsgán úgy, hogy legalább 10 pontot a második részből, szóbeli vizsgával javíthat (ilyenkor a két eredmény átlaga adja a végső osztályzatot).