NÉV: NEPTUN KÓD:

Lineáris algebra  4. vizsga  2010. január 27.

\underline{I. rész.} Ebben a részben minden helyes válasz 3 pontot ér. Indokolni csak akkor kell, ha a feladat ezt kéri. A választ a keretbe írjuk!

1. Definiálja a gyűrű fogalmát!

2. Mivel egyenlő a z = \frac{7+3i}{5−2i} komplex szám argumentuma?

3.

Adja meg a ℤ_{5} feletti x^{2} − 3x + 1 polinomnak a (ℤ_{5} feletti) 2x − 3 polinommal való maradékos osztásánál keletkezett q(x) hányadost és r(x) maradékot?

4.

Adja meg az f(x) = x^{3}−(a+a^{2}+1)x^{2}+(a+a^{2}+a^{3})x−a^{3} ∈ ℂ[x] polinom gyökeit!

5. Definiálja polinomok legnagyobb közös osztójának fogalmát’

6. Mondja ki a Schönemann-Eisenstein-féle irreducibilitási kritériumot!

7.

Adja meg az f(x) = x^{3} − x^{2} + x − 1 polinom irreducibilis faktorait ℤ_{5}[x]-ben!

8.

Az alábbi polinomok közül melyek irreducibilisek a megadott polinomgyűrűben?

f(x) = x^{2010} + 3x^{5} + 1 ∈ ℤ_{5}[x]

g(x) = x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1 ∈ ℚ[x]
h(x) = x^{4} + 21x^{2} − 7 ∈ ℤ[x]

9. Fogalmazza meg a vektorok lineárisan függetlenségének definícióját!

10.

Függetlenek-e az a = [0, 2, 4],b = [3, 0, 4], c = [3, 2, 0] vektorok ℤ_{7}-felett?

11.

Adja meg azokat a ℤ_{2} feletti kétdimenziós oszlopvektorokat, amelyekre Ax = 0 teljesül, ahol A a ℤ_{2} feletti

[ \begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & −1 \end{matrix} ] mátrix.

12. Mennyi a σ = [ \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 5 & 4 & 2 & 3 \end{matrix} ] és τ = [ \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 2 & 4 & 5 & 3 \end{matrix} ]

permutációk τ ∘ σ szorzatában az inverziók száma?

Az inverziók száma:

13.

ℝ elemeiből képezett 3 × 3-típusú A és B mátrixok esetén mennyi az A mátrix determinánsa, ha a B mátrix determinánsa 5, a 2B(A^{−1})^{2} mátrix determinánsa pedig 10?

x =

14. Mondja ki a Laplace-féle kifejtési tételt!

15.

Adja meg az AB mátrix inverzét, ha A^{−1} = [ \begin{matrix}−2 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ] és

B = [ \begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix} ]!

16. Definiálja a vektorterek közötti lineáris leképezés fogalmát!

17.

Adja meg a azon értékét, amely mellett a [ \begin{matrix}3 & 5 \\ 6 & a \end{matrix} ] mátrix

nem lesz egy bázistranszformáció mátrixa!

a =

18.

Írjuk föl az [ \begin{matrix}4 & 3 \\ 2 & 1 \end{matrix} ] standard mátrixú lineáris transz-

formáció mátrixát a B = \{[ \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} ]\} bázisban!

19. Definiálja a kanonikus λ-mátrix fogalmát!

20.

Adjon meg olyan ℝ feletti Jordan mátrixot, amelyik ha-

sonló az [ \begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix} ] mátrixszal!

21.

Diagonalizálható-e az a ℚ feletti M mátrix, melynek minimálpolinomja x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1.

22.

Hány Jordan-blokkból állhat az A mátrixszal hasonló Jordan-mátrix, ha k_{A}(x) = x(x + 6)^{2}(x − 2)^{4}, m_{A}(x) = x(x + 6)^{2}(x − 2)^{2}?

23.

Adjon meg ℝ^{3}-ban olyan e_{1}, e_{2} ortonormált vektorrendszert, amelyre ⟨e_{1}, e_{2}⟩ = ⟨b_{1}, b_{2}⟩ teljesül, ahol b_{1} = [1, 0, 0], b_{2} = [1, 1, 2]!

24. Mit értünk egy valós értékű kvadratikus alak mátrixán?

25. Milyen jellegű az x^{2} + 2y^{2} + 3z^{2} − 10yz kvadratikus alak?

\underline{II. rész.} Ebben a részben tételeket kell ismertetni és bizonyítani. Ügyeljünk a pontos fogalmazásra! A dolgozat hátlapjára írjunk!

A. Mondja ki és bizonyítsa be a márixok invertálhatóságával kapcsolatban tanult tételt! (12 pont) B. Mondja ki és bizonyítsa be a rang-nullítás-tételt! (13 pont)

OSZTÁLYZATOK: A vizsgán elért osztályzatot az összpontszám alapján az alábbiak szerint számoljuk ki:

Összpontszám  0 − 39 40 − 54 55 − 67 68 − 79 80 − 100
Osztályzat  1  2  3  4  5

Aki legalább 50 pontot elér az írásbeli vizsgán úgy, hogy a II. részre legalább 10 pontot kapott, szóbeli vizsgával javíthat (ilyenkor a két eredmény átlaga adja a végső osztályzatot).