Tételek

(Lineáris algebra)

Komplex számok I.(A komplex szám fogalma, műveletek algebrai alakban adott komplex számok között. A binomiális tétel (pdf).)

Komplex számok II. (Trigonometriai alakja, trigonometriai alakban adott  komplex számok  szorzása és osztása.A Moivre-tétel (pdf). Komplex számok komplex  n-edik gyöke. Komplex n-edik egységgyökök.)

Polinomok gyökei. (Az algebra alaptétele (pdf). A Cardano-képlet (pdf). Gyökök és együtthatók közötti összefüggés. Szimmetrikus polinomok alaptétele.)

Polinomok numerikus módszerei.( Műveletek polinomok között. Polinomok maradékos osztása (pdf). A Rolle-féle gyöktétel  (pdf). A Horner-módszer.  Lagrange-féle interpoláció.)

Polinomok felbontása. (Polinom irreducibilitása, Irreducibilis polinomok C[x]-ben, R[x]-ben, Q[x]-ben Z[x]-ben. A Scönemann-Eisentsein-féle irreducibilitási kritérium (pdf).)

A vektorterek alapfogalmai. (Vektortér, altér, direkt  szorzat, lineáris függetlenség, bázis, dimenzió.)

Mátrixalgebra.(A mátrix fogalma, mátrixok összege, szorzata, skalárszorosa. Műveleti tulajdonságok. Az nxn-es mátrixok gyűrűje, az mxn-es mátrixok vektortere.)

Determináns.(A permutáció fogalma, permutáció paritása. A determináns fogalma és alaptulajdonságai. A Laplace-kifejtési tétel és következményei: kifejtési és ferde kifejtési tétel. A determinánsok szorzástétele.).

Mátrix inverze.(A mátrix inverzének fogalma; az inverz létezésének szükséges és elégséges feltétele.)

Lineáris egyenletrendszerek. (Gauss-módszer, Mátrix rangja. Lineáris egyenletrendszerek megoldhatóságának mátrixrangos feltétele. A Cramer-szabály (pdf).)

Lineáris leképezések I. (Lineáris leképezés és transzformáció definíciója. Képtér, magtér, lineáris leképezés rangja és nullítása.  A Rang-nullítás-tétel (pdf).)

Lineáris leképezések II (Lineáris leképezés mátrixa. Vektor és mátrix  változása bázistranszformáció során. Mátrixok hasonlóságának definíciója.)

Sajátérték, sajátvektor. (Mátrix sajátértékének, sajátvektorának definíciója. Karakterisztikus egyenlet. Szimmetrikus és ferdén szimmetrikus mátrix fogalma, sajétértékeik. Lineáris transzformáció sajátértékei, sajátvektorai, kapcsolat a mátrixok sajátértékeivel, sajátvektoraival. Szimmetrikus lineáris transzformáció sajátvektorai.)

Polinomiális mátrixok. ( Polinomiális mátrixok (lambda-mátrixok) ekvivalenciája, kanonikus alakja. Mátrixik hasonlóságának szükséges és elegendő feltétele (pdf). Mátrix minimálpolinomja, a Cayley-Hamilton-tétel (pdf) )

Mátrixok Jordan-alakja. ( A Jordan-tömb és a Jordan-mátrix fogalma, a Jordan-mátrixok hasonlósága, Mátrixok és Jordan mátrixok hasonlóságának kritériuma, mátrixok diagonalizálhatóságának kritériuma.)

Vektorterek direkt szorzata, faktortér, tenzori szorzat.

Bilineáris funkcionálok, kvadratikus alakok. (A valós és komplex bilineáris funkcionál fogalma, mátrixa. A valós, illetve komplex kvadratikus alak fogalma, kapcsolatuk a bilineáris funkcionálokkal. Valós értékű kvadratikus alakok osztályozása, definitségi tétel.)

Kvadratikus alakok kanonikus alakja. (A kanonikus alak definíciója, Kvadratikus alakra vonatkozó főtengelytétel (négyzetösszeggé alakítás), Sylvester-féle tehetetlenségi tétel (pdf).)

A valós és komplex euklideszi tér. (Skaláris szorzás, euklideszi tér,  norma, ortogonalitás, A Bessel-egyenlőtlenség (pdf) , a Cauchy-Schwarz-Bunyakovszkij-egyenlőtlenség (pdf), Gram-Schmidt-féle ortogonalizáció (pdf).)

Valós, illetve komplex euklideszi terek lineáris transzformációi. (Ortogonális (unitér) és szimmetrikus (önadjungált) transzformációk.)