MATEMATIKA SZIGORLATI TÉTELSOR VEGYÉSZ HALLGATÓKNAK

A szigorlat anyagát a Matematika B1, B2, a Differenciálegyenletek alkalmazásai, valamint a Matematika III. tárgyak képezik.
Javasolt irodalom: Szász Gábor: Matematika I., II., III.

1. Valós számsorozatok. Bolzano-Weierstrass tétel, korlátosság, monotonitás, határérték.
2. Numerikus sorok, abszolút és feltételes konvergencia. Sorok konvergencia kritériumai. Sorok átrendezhetsége.
3. Függvények, határérték, folytonosság. Inverz függvény, implicit függvény. Zárt intervallumon folytonos függvények tulajdonságai.
4. Egyváltozós függvények differenciálszámítása. Középérték tételek. L'Hospital szabály.
5. Egyváltozós függvény szélsértéke. Függvényvizsgálat.
6. Határozatlan integrál, primitív függvény. Határozott integrál. Newton-Leibnitz tétel.
7. Integrálszámítás alkalmazásai (terület, ívhossz, térfogat, felszín). Impropius integrál.
8. Függvénysorok, konvergencia, egyenletes konvergencia. Hatványsorok, konvergencia tartomány.
9. Taylor sor. Taylor tétel. Függvények Taylor polinommal való közelítésre.
10. Fourier sor. Konvergencia tétel.
11. Többváltozós függvények értelmezése. Szintvonalak.
12. Többváltozós függvények differenciálszámítása, szélsôérték. Középértéktételek.
13. Többváltozós függvények integrálása, helyettesítések, alkalmazások.
14. Skalár-vektor, vektor-vektor függvények differenciálása. Gradiens, divergencia, rotáció.
15. Vektor-vektor függvények vonal- és felületi integrálja.
16. Integrál-átalakító tételek (Gauss-Osztrogradszkij, Stokes, Green). A potenciálelmélet elemei.
17. Közönséges differenciálegyenletek. Általános elmélet, fôbb megoldási módszerek.
18. Elsôrendû differenciálegyenletek.
19. Másodrendû explicit differenciálegyenletek.
20. Lineáris differenciálegyenletek, rendszerek.
21. Laplace transzformáció és alkalmazása differenciálegyenletek megoldására.
22. Parciális differenciálegyenletek.
23. Lineáris tér alapfogalmai (altér, lineáris kombináció, függetlenség, bázis, dimenzió).
24. A lineáris algebra alapjai (determináns műveletek, mátrix műveletek, tulajdonságok).
25. Lineáris egyenletrendszerek. Megoldhatóság, megoldási módszerek.
26. Lineáris leképezések. Mátrix sajátértéke, sajátvektor. A valós szimmetrikus mátrix.
27. A valószínűségszámítás alapjai. (Esemény, mûveletek eseményekkel, valószínûség fogalma és alapvető tulajdonságai. A valószínűségszámítás Kolgomorov-féle axiómái és következményei.)
28. Feltételes valószínség fogalma. Események függetlensége. Teljes valószínűség tétele, Bayes tétel, alkalmazások.
29. Valószínûségi változók és legfontosabb jellemzôik. Folytonos és diszkrét valószínségi változók függvényei.
30. Nevezetes eloszlások, alkalmazásaik, jellemzôik. (Binomiális, Poisson, egyenletes, normális, exponenciális, geometriai).
31. A nagy számok törvényei és határeloszlás tételek. (Poisson határértéktétel, központi határeloszlás tétel).
32. Többdimenziós eloszlások. (Normális eloszlás, khi négyzet-eloszlás, kovariancia és korrelációmátrix.)
33. A matematikai statisztika elemei (Statisztikus sokaság, véletlen minta, becslések, normális sokaság.)
34. Megbízhatósági intervallum fogalma, statisztikai próbák.