A1 Vizsgatematika

• Eszköztér: alapfogalom, axióma, definíció, tétel. Halmazelmélet axiómái. Halmazalgebrai műveletek. Természetes számok, Peano axiómák. Rendezett párok, relációk. Valós számok: test-, rendezési axiómák, felső határ tulajdonság.
• Komplex számsík, műveletek komplex számokkal, egységgyökök.
• 3-dimenziós vektorgeometria: műveletek vektorokkal, lineáris kombináció, összefüggőség, függetlenség. Skaláris és vektoriális szorzat, ezek tulajdonságai. Vegyesszorzat. Sík és egyenes egyenletei, vektor hossza, pont távolsága síktól, egyenestől.
• Valós sorozatok: sorozat fogalma, intervallum, környezet. Sorozat határértéke. Monoton, korlátos sorozat, részsorozat, átrendezés, összefésülés. Sorozat határértékének ekvivalens alakja, konvergensből korlátos, sorozat határértéke nem változik, ha (5 módon) változtatjuk a sorozatot. Műveletek véges, végtelen és nulla határértékű sorozatokkal. Cauchy sorozatok valós és racionális testben. Cantor tétel. Torlódási pont, lim sup, lim inf, divergens sorozatok, korlátos (alulról / felülről) sorozatokra vonatkozó tételek (köztük Bolzano-Weierstrass), monoton részsorozat tétele. Összehasonlító kritériumok: majoráns, minoráns, rendőrelv. Nevezetes határértékek. Az "e" szám.  Számosság , Q és R számossága. 
• Valós függvények: elemi tulajdonságok, műveletek, kompozíció, inverz. Függvény határértéke, a definíció ekvivalens alakja és ennek következményei. Függvény folytonossága és ennek ekvivalens alakja. Egyoldali határérték, szakadási helyek osztályozása. Műveletek folytonos függvényekkel. Bolzano és Weierstrass tételei. Elemi függvények folytonossága. Nevezetes határértékek. Függvények differenciálhatóságának ekvivalens definíciói. Differenciálhatóságból folytonosság. Féloldali derivált. Differenciálási szabályok, elemi függvények deriváltjai. Középérték tételek: Rolle, Lagrange, Cauchy. Lagrange egyenlőtlenség, L'Hospital szabály. Magasabb rendű deriváltak, Leibniz szabály. Függvényvizsgálat: monotonitás, szélsőérték, konvexitás, inflexió, és az ezekre vonatkozó tételek. Görbék: explicit, implicit, paraméteres, polárkoordinátás. Görbék n-ed rendű érintkezése, simulókör, görbület, Taylor polinom.
• Primitívfüggvény, határozatlan integrál. Összes primitívfüggvény alakja, elemi tulajdonságok, parciális és helyettesítéses integrálás, racionális törtfüggvények integrálja. Riemann integrál. Jordan mérték a síkon, a Riemann integrál definíciója, elemi tulajdonságai, műveletek Riemann integrálható függvényekkel. A Riemann integrál ekvivalens definíciói. Riemann integrálhatóság elégséges feltételei. Középérték tételek.
• Integrálfüggvény. Definíció, folytonosság, differenciálhatóság, kapcsolata a primitív függvénnyel, Newton-Leibniz szabály. Parciális és helyettesítéses integrálás Riemann integrálokra. A Riemann integrál geometriai alkalmazásai (terület, ívhossz, forgástest -x,y- térfogata és felszíne, súlypont: explicit, paraméteres és polárkoordinátás alak), impropius integrál. Definíció, majoráns és minoráns Cauchy kritérium. Integrál alkalmazásai II: nevezetes integrálok kiszámítása, szeparábilis, erre visszavezethető differenciálegyenletek.